Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119683 / 118150
↖ ↑ ↗
← S 80.819520°
E148.719177°		 ← 48.73 m → S 80.819520°
E148.721924°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
S 80.819959°
E148.719177°		 ← 48.73 m →
2 375 m²		 S 80.819959°
E148.721924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913112640380859 y=0.901416778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913112640380859 × 217)
    floor (0.913112640380859 × 131072)
    floor (119683.5)     		tx = 119683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901416778564453 × 217)
    floor (0.901416778564453 × 131072)
    floor (118150.5)     		ty = 118150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119683 / 118150 ti = "17/119683/118150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119683/118150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119683 ÷ 217
    119683 ÷ 131072     		x = 0.913108825683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118150 ÷ 217
    118150 ÷ 131072     		y = 0.901412963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913108825683594 × 2 - 1) × π
    0.826217651367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.59563930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901412963867188 × 2 - 1) × π
    -0.802825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52215203660963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59563930} λ = 2.59563930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52215203660963))-π/2
    2×atan(0.0802866409113728)-π/2
    2×0.0801147972906656-π/2
    0.160229594581331-1.57079632675     		φ = -1.41056673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59563930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.719177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41056673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.819520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119683 KachelY 118150 2.59563930 -1.41056673 148.719177 -80.819520
    Oben rechts KachelX + 1 119684 KachelY 118150 2.59568724 -1.41056673 148.721924 -80.819520
    Unten links KachelX 119683 KachelY + 1 118151 2.59563930 -1.41057438 148.719177 -80.819959
    Unten rechts KachelX + 1 119684 KachelY + 1 118151 2.59568724 -1.41057438 148.721924 -80.819959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41056673--1.41057438) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41056673--1.41057438) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59563930-2.59568724) × cos(-1.41056673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159544866633147 × 6371000     		do = 48.7291089545984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59563930-2.59568724) × cos(-1.41057438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159537314619789 × 6371000     		du = 48.72680237533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41056673)-sin(-1.41057438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159544866633147-0.159537314619789)×R²
    abs(2.59568724-2.59563930)×7.55201335814193e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.55201335814193e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.55201335814193e-06×40589641000000     		ar = 2374.91041232252m²