Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119682 / 116610
↖ ↑ ↗
← S 80.119506°
E148.716431°		 ← 52.40 m → S 80.119506°
E148.719177°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
S 80.119978°
E148.716431°		 ← 52.40 m →
2 747 m²		 S 80.119978°
E148.719177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913105010986328 y=0.889667510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913105010986328 × 217)
    floor (0.913105010986328 × 131072)
    floor (119682.5)     		tx = 119682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.889667510986328 × 217)
    floor (0.889667510986328 × 131072)
    floor (116610.5)     		ty = 116610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119682 / 116610 ti = "17/119682/116610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119682/116610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119682 ÷ 217
    119682 ÷ 131072     		x = 0.913101196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116610 ÷ 217
    116610 ÷ 131072     		y = 0.889663696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913101196289062 × 2 - 1) × π
    0.826202392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59559137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.889663696289062 × 2 - 1) × π
    -0.779327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.44832921119475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59559137} λ = 2.59559137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44832921119475))-π/2
    2×atan(0.08643788537056)-π/2
    2×0.0862235715171095-π/2
    0.172447143034219-1.57079632675     		φ = -1.39834918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59559137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.716431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39834918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.119506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119682 KachelY 116610 2.59559137 -1.39834918 148.716431 -80.119506
    Oben rechts KachelX + 1 119683 KachelY 116610 2.59563930 -1.39834918 148.719177 -80.119506
    Unten links KachelX 119682 KachelY + 1 116611 2.59559137 -1.39835741 148.716431 -80.119978
    Unten rechts KachelX + 1 119683 KachelY + 1 116611 2.59563930 -1.39835741 148.719177 -80.119978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39834918--1.39835741) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39834918--1.39835741) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59559137-2.59563930) × cos(-1.39834918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171593710686863 × 6371000     		do = 52.3982038306052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59559137-2.59563930) × cos(-1.39835741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17158560275004 × 6371000     		du = 52.3957279745578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39834918)-sin(-1.39835741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171593710686863-0.17158560275004)×R²
    abs(2.59563930-2.59559137)×8.10793682307076e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.10793682307076e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.10793682307076e-06×40589641000000     		ar = 2747.3474040841m²