Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119680 / 118170
↖ ↑ ↗
← S 80.828280°
E148.710937°		 ← 48.68 m → S 80.828280°
E148.713684°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.828718°
E148.710937°		 ← 48.68 m →
2 370 m²		 S 80.828718°
E148.713684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913089752197266 y=0.901569366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913089752197266 × 217)
    floor (0.913089752197266 × 131072)
    floor (119680.5)     		tx = 119680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901569366455078 × 217)
    floor (0.901569366455078 × 131072)
    floor (118170.5)     		ty = 118170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119680 / 118170 ti = "17/119680/118170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119680/118170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119680 ÷ 217
    119680 ÷ 131072     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118170 ÷ 217
    118170 ÷ 131072     		y = 0.901565551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901565551757812 × 2 - 1) × π
    -0.803131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52311077460204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52311077460204))-π/2
    2×atan(0.0802097039455381)-π/2
    2×0.0800383526109599-π/2
    0.16007670522192-1.57079632675     		φ = -1.41071962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41071962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.828280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119680 KachelY 118170 2.59549549 -1.41071962 148.710937 -80.828280
    Oben rechts KachelX + 1 119681 KachelY 118170 2.59554343 -1.41071962 148.713684 -80.828280
    Unten links KachelX 119680 KachelY + 1 118171 2.59549549 -1.41072726 148.710937 -80.828718
    Unten rechts KachelX + 1 119681 KachelY + 1 118171 2.59554343 -1.41072726 148.713684 -80.828718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41071962--1.41072726) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41071962--1.41072726) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.59554343) × cos(-1.41071962) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.159393933186205 × 6371000     		do = 48.6830099953263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.59554343) × cos(-1.41072726) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.159386390858497 × 6371000     		du = 48.6807063743048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41071962)-sin(-1.41072726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159393933186205-0.159386390858497)×R²
    abs(2.59554343-2.59549549)×7.5423277077491e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.5423277077491e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.5423277077491e-06×40589641000000     		ar = 2369.56218527138m²