Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119680 / 117120
↖ ↑ ↗
← S 80.356996°
E148.710937°		 ← 51.16 m → S 80.356996°
E148.713684°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
S 80.357456°
E148.710937°		 ← 51.16 m →
2 617 m²		 S 80.357456°
E148.713684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913089752197266 y=0.893558502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913089752197266 × 217)
    floor (0.913089752197266 × 131072)
    floor (119680.5)     		tx = 119680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893558502197266 × 217)
    floor (0.893558502197266 × 131072)
    floor (117120.5)     		ty = 117120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119680 / 117120 ti = "17/119680/117120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119680/117120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119680 ÷ 217
    119680 ÷ 131072     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117120 ÷ 217
    117120 ÷ 131072     		y = 0.8935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8935546875 × 2 - 1) × π
    -0.787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47277703000098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47277703000098))-π/2
    2×atan(0.0843502901635867)-π/2
    2×0.0841510898883826-π/2
    0.168302179776765-1.57079632675     		φ = -1.40249415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40249415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.356996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119680 KachelY 117120 2.59549549 -1.40249415 148.710937 -80.356996
    Oben rechts KachelX + 1 119681 KachelY 117120 2.59554343 -1.40249415 148.713684 -80.356996
    Unten links KachelX 119680 KachelY + 1 117121 2.59549549 -1.40250218 148.710937 -80.357456
    Unten rechts KachelX + 1 119681 KachelY + 1 117121 2.59554343 -1.40250218 148.713684 -80.357456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40249415--1.40250218) × R
    8.02999999982568e-06 × 6371000     		dl = 51.1591299988894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40249415--1.40250218) × R
    8.02999999982568e-06 × 6371000     		dr = 51.1591299988894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.59554343) × cos(-1.40249415) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.167508757340305 × 6371000     		do = 51.1614861675835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.59554343) × cos(-1.40250218) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.167500840794083 × 6371000     		du = 51.1590682505955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40249415)-sin(-1.40250218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167508757340305-0.167500840794083)×R²
    abs(2.59554343-2.59549549)×7.9165462216757e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.9165462216757e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.9165462216757e-06×40589641000000     		ar = 2617.31527265615m²