Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119679 / 118172
↖ ↑ ↗
← S 80.829156°
E148.708191°		 ← 48.67 m → S 80.829156°
E148.710937°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.829594°
E148.708191°		 ← 48.67 m →
2 369 m²		 S 80.829594°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913082122802734 y=0.901584625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913082122802734 × 217)
    floor (0.913082122802734 × 131072)
    floor (119679.5)     		tx = 119679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901584625244141 × 217)
    floor (0.901584625244141 × 131072)
    floor (118172.5)     		ty = 118172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119679 / 118172 ti = "17/119679/118172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119679/118172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119679 ÷ 217
    119679 ÷ 131072     		x = 0.913078308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118172 ÷ 217
    118172 ÷ 131072     		y = 0.901580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913078308105469 × 2 - 1) × π
    0.826156616210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59544756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.80316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52320664840128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59544756} λ = 2.59544756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52320664840128))-π/2
    2×atan(0.0802020143051083)-π/2
    2×0.0800307121216438-π/2
    0.160061424243288-1.57079632675     		φ = -1.41073490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59544756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.708191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41073490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.829156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119679 KachelY 118172 2.59544756 -1.41073490 148.708191 -80.829156
    Oben rechts KachelX + 1 119680 KachelY 118172 2.59549549 -1.41073490 148.710937 -80.829156
    Unten links KachelX 119679 KachelY + 1 118173 2.59544756 -1.41074254 148.708191 -80.829594
    Unten rechts KachelX + 1 119680 KachelY + 1 118173 2.59549549 -1.41074254 148.710937 -80.829594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41073490--1.41074254) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41073490--1.41074254) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59544756-2.59549549) × cos(-1.41073490) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.159378848521486 × 6371000     		do = 48.6682487231624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59544756-2.59549549) × cos(-1.41074254) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.159371306175172 × 6371000     		du = 48.665945576981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41073490)-sin(-1.41074254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159378848521486-0.159371306175172)×R²
    abs(2.59549549-2.59544756)×7.54234631394901e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.54234631394901e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.54234631394901e-06×40589641000000     		ar = 2368.84370036097m²