Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119679 / 118144
↖ ↑ ↗
← S 80.816891°
E148.708191°		 ← 48.73 m → S 80.816891°
E148.710937°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
S 80.817329°
E148.708191°		 ← 48.73 m →
2 375 m²		 S 80.817329°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913082122802734 y=0.901371002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913082122802734 × 217)
    floor (0.913082122802734 × 131072)
    floor (119679.5)     		tx = 119679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901371002197266 × 217)
    floor (0.901371002197266 × 131072)
    floor (118144.5)     		ty = 118144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119679 / 118144 ti = "17/119679/118144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119679/118144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119679 ÷ 217
    119679 ÷ 131072     		x = 0.913078308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118144 ÷ 217
    118144 ÷ 131072     		y = 0.9013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913078308105469 × 2 - 1) × π
    0.826156616210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59544756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9013671875 × 2 - 1) × π
    -0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59544756} λ = 2.59544756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52186441521191))-π/2
    2×atan(0.0803097363884675)-π/2
    2×0.0801377448067855-π/2
    0.160275489613571-1.57079632675     		φ = -1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59544756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.708191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119679 KachelY 118144 2.59544756 -1.41052084 148.708191 -80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 119680 KachelY 118144 2.59549549 -1.41052084 148.710937 -80.816891
    Unten links KachelX 119679 KachelY + 1 118145 2.59544756 -1.41052849 148.708191 -80.817329
    Unten rechts KachelX + 1 119680 KachelY + 1 118145 2.59549549 -1.41052849 148.710937 -80.817329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41052084--1.41052849) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dl = 48.7381499994564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41052084--1.41052849) × R
    7.64999999991467e-06 × 6371000     		dr = 48.7381499994564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59544756-2.59549549) × cos(-1.41052084) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 48.7327778651712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59544756-2.59549549) × cos(-1.41052849) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.159582616688029 × 6371000     		du = 48.7304717841469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41052084)-sin(-1.41052849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.159582616688029)×R²
    abs(2.59549549-2.59544756)×7.55195734192249e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.55195734192249e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.55195734192249e-06×40589641000000     		ar = 2375.08924049732m²