Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119678 / 116606
↖ ↑ ↗
← S 80.117621°
E148.705444°		 ← 52.42 m → S 80.117621°
E148.708191°		 →
↑
52.37 m
↓
↑
52.37 m
↓
S 80.118092°
E148.705444°		 ← 52.42 m →
2 745 m²		 S 80.118092°
E148.708191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913074493408203 y=0.889636993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913074493408203 × 217)
    floor (0.913074493408203 × 131072)
    floor (119678.5)     		tx = 119678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.889636993408203 × 217)
    floor (0.889636993408203 × 131072)
    floor (116606.5)     		ty = 116606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119678 / 116606 ti = "17/119678/116606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119678/116606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119678 ÷ 217
    119678 ÷ 131072     		x = 0.913070678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116606 ÷ 217
    116606 ÷ 131072     		y = 0.889633178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913070678710938 × 2 - 1) × π
    0.826141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59539962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.889633178710938 × 2 - 1) × π
    -0.779266357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.44813746359627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59539962} λ = 2.59539962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44813746359627))-π/2
    2×atan(0.0864544612166361)-π/2
    2×0.0862400244116769-π/2
    0.172480048823354-1.57079632675     		φ = -1.39831628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59539962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.705444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39831628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.117621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119678 KachelY 116606 2.59539962 -1.39831628 148.705444 -80.117621
    Oben rechts KachelX + 1 119679 KachelY 116606 2.59544756 -1.39831628 148.708191 -80.117621
    Unten links KachelX 119678 KachelY + 1 116607 2.59539962 -1.39832450 148.705444 -80.118092
    Unten rechts KachelX + 1 119679 KachelY + 1 116607 2.59544756 -1.39832450 148.708191 -80.118092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39831628--1.39832450) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dl = 52.3696200000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39831628--1.39832450) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dr = 52.3696200000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59539962-2.59544756) × cos(-1.39831628) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.171626122614681 × 6371000     		do = 52.419035503371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59539962-2.59544756) × cos(-1.39832450) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.171618024575959 × 6371000     		du = 52.4165621539017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39831628)-sin(-1.39832450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171626122614681-0.171618024575959)×R²
    abs(2.59544756-2.59539962)×8.09803872225956e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.09803872225956e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.09803872225956e-06×40589641000000     		ar = 2745.10020588702m²