Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119674 / 118398
↖ ↑ ↗
← S 80.927560°
E148.694458°		 ← 48.16 m → S 80.927560°
E148.697205°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.927993°
E148.694458°		 ← 48.16 m →
2 320 m²		 S 80.927993°
E148.697205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913043975830078 y=0.903308868408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913043975830078 × 217)
    floor (0.913043975830078 × 131072)
    floor (119674.5)     		tx = 119674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903308868408203 × 217)
    floor (0.903308868408203 × 131072)
    floor (118398.5)     		ty = 118398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119674 / 118398 ti = "17/119674/118398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119674/118398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119674 ÷ 217
    119674 ÷ 131072     		x = 0.913040161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118398 ÷ 217
    118398 ÷ 131072     		y = 0.903305053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913040161132812 × 2 - 1) × π
    0.826080322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59520787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903305053710938 × 2 - 1) × π
    -0.806610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53404038771541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59520787} λ = 2.59520787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53404038771541))-π/2
    2×atan(0.0793378162902166)-π/2
    2×0.0791719784865345-π/2
    0.158343956973069-1.57079632675     		φ = -1.41245237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59520787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.694458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41245237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.927560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119674 KachelY 118398 2.59520787 -1.41245237 148.694458 -80.927560
    Oben rechts KachelX + 1 119675 KachelY 118398 2.59525581 -1.41245237 148.697205 -80.927560
    Unten links KachelX 119674 KachelY + 1 118399 2.59520787 -1.41245993 148.694458 -80.927993
    Unten rechts KachelX + 1 119675 KachelY + 1 118399 2.59525581 -1.41245993 148.697205 -80.927993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41245237--1.41245993) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41245237--1.41245993) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59520787-2.59525581) × cos(-1.41245237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157683097863619 × 6371000     		do = 48.1604768504566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59520787-2.59525581) × cos(-1.41245993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157675632436472 × 6371000     		du = 48.1581967168458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41245237)-sin(-1.41245993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157683097863619-0.157675632436472)×R²
    abs(2.59525581-2.59520787)×7.46542714727405e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46542714727405e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46542714727405e-06×40589641000000     		ar = 2319.58289802529m²