Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119673 / 118265
↖ ↑ ↗
← S 80.869777°
E148.691711°		 ← 48.46 m → S 80.869777°
E148.694458°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.870213°
E148.691711°		 ← 48.46 m →
2 350 m²		 S 80.870213°
E148.694458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913036346435547 y=0.902294158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913036346435547 × 217)
    floor (0.913036346435547 × 131072)
    floor (119673.5)     		tx = 119673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902294158935547 × 217)
    floor (0.902294158935547 × 131072)
    floor (118265.5)     		ty = 118265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119673 / 118265 ti = "17/119673/118265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119673/118265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119673 ÷ 217
    119673 ÷ 131072     		x = 0.913032531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118265 ÷ 217
    118265 ÷ 131072     		y = 0.902290344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913032531738281 × 2 - 1) × π
    0.826065063476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59515993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902290344238281 × 2 - 1) × π
    -0.804580688476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.52766478006594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59515993} λ = 2.59515993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52766478006594))-π/2
    2×atan(0.0798452589875277)-π/2
    2×0.0796762268542514-π/2
    0.159352453708503-1.57079632675     		φ = -1.41144387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59515993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.691711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41144387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.869777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119673 KachelY 118265 2.59515993 -1.41144387 148.691711 -80.869777
    Oben rechts KachelX + 1 119674 KachelY 118265 2.59520787 -1.41144387 148.694458 -80.869777
    Unten links KachelX 119673 KachelY + 1 118266 2.59515993 -1.41145148 148.691711 -80.870213
    Unten rechts KachelX + 1 119674 KachelY + 1 118266 2.59520787 -1.41145148 148.694458 -80.870213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41144387--1.41145148) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41144387--1.41145148) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59515993-2.59520787) × cos(-1.41144387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158678900937646 × 6371000     		do = 48.4646207412355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59515993-2.59520787) × cos(-1.41145148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158671387349911 × 6371000     		du = 48.4623258981416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41144387)-sin(-1.41145148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158678900937646-0.158671387349911)×R²
    abs(2.59520787-2.59515993)×7.51358773476429e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51358773476429e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51358773476429e-06×40589641000000     		ar = 2349.66960063696m²