Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119671 / 118126
↖ ↑ ↗
← S 80.808997°
E148.686218°		 ← 48.78 m → S 80.808997°
E148.688965°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
S 80.809436°
E148.686218°		 ← 48.78 m →
2 381 m²		 S 80.809436°
E148.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913021087646484 y=0.901233673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913021087646484 × 217)
    floor (0.913021087646484 × 131072)
    floor (119671.5)     		tx = 119671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901233673095703 × 217)
    floor (0.901233673095703 × 131072)
    floor (118126.5)     		ty = 118126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119671 / 118126 ti = "17/119671/118126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119671/118126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119671 ÷ 217
    119671 ÷ 131072     		x = 0.913017272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118126 ÷ 217
    118126 ÷ 131072     		y = 0.901229858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913017272949219 × 2 - 1) × π
    0.826034545898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59506406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901229858398438 × 2 - 1) × π
    -0.802459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52100155101875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59506406} λ = 2.59506406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52100155101875))-π/2
    2×atan(0.0803790626896494)-π/2
    2×0.0802066264615304-π/2
    0.160413252923061-1.57079632675     		φ = -1.41038307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59506406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.686218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41038307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.808997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119671 KachelY 118126 2.59506406 -1.41038307 148.686218 -80.808997
    Oben rechts KachelX + 1 119672 KachelY 118126 2.59511200 -1.41038307 148.688965 -80.808997
    Unten links KachelX 119671 KachelY + 1 118127 2.59506406 -1.41039073 148.686218 -80.809436
    Unten rechts KachelX + 1 119672 KachelY + 1 118127 2.59511200 -1.41039073 148.688965 -80.809436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41038307--1.41039073) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41038307--1.41039073) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59506406-2.59511200) × cos(-1.41038307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15972617138132 × 6371000     		do = 48.7844840914746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59506406-2.59511200) × cos(-1.41039073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159718609720619 × 6371000     		du = 48.7821745656592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41038307)-sin(-1.41039073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15972617138132-0.159718609720619)×R²
    abs(2.59511200-2.59506406)×7.56166070164932e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56166070164932e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56166070164932e-06×40589641000000     		ar = 2380.71720821304m²