Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11967 / 13702
↖ ↑ ↗
← N 28.246328°
W 48.526611°		 ← 1 076.17 m → N 28.246328°
W 48.515625°		 →
↑
1 076.19 m
↓
↑
1 076.19 m
↓
N 28.236649°
W 48.526611°		 ← 1 076.27 m →
1 158 213 m²		 N 28.236649°
W 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365219116210938 y=0.418167114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365219116210938 × 215)
    floor (0.365219116210938 × 32768)
    floor (11967.5)     		tx = 11967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418167114257812 × 215)
    floor (0.418167114257812 × 32768)
    floor (13702.5)     		ty = 13702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11967 / 13702 ti = "15/11967/13702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11967/13702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11967 ÷ 215
    11967 ÷ 32768     		x = 0.365203857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13702 ÷ 215
    13702 ÷ 32768     		y = 0.41815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.26959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84694914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41815185546875 × 2 - 1) × π
    0.1636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.514267059123962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84694914} λ = -0.84694914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514267059123962))-π/2
    2×atan(1.67241227315929)-π/2
    2×1.03189387573746-π/2
    2.06378775147492-1.57079632675     		φ = 0.49299142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84694914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.526611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49299142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.246328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11967 KachelY 13702 -0.84694914 0.49299142 -48.526611 28.246328
    Oben rechts KachelX + 1 11968 KachelY 13702 -0.84675739 0.49299142 -48.515625 28.246328
    Unten links KachelX 11967 KachelY + 1 13703 -0.84694914 0.49282250 -48.526611 28.236649
    Unten rechts KachelX + 1 11968 KachelY + 1 13703 -0.84675739 0.49282250 -48.515625 28.236649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49299142-0.49282250) × R
    0.000168920000000017 × 6371000     		dl = 1076.18932000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49299142-0.49282250) × R
    0.000168920000000017 × 6371000     		dr = 1076.18932000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84694914--0.84675739) × cos(0.49299142) × R
    0.000191749999999935 × 0.880921073199276 × 6371000     		do = 1076.16775917199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84694914--0.84675739) × cos(0.49282250) × R
    0.000191749999999935 × 0.881001004251681 × 6371000     		du = 1076.26540608291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49299142)-sin(0.49282250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880921073199276-0.881001004251681)×R²
    abs(-0.84675739--0.84694914)×7.99310524054464e-05×R²
    0.000191749999999935×7.99310524054464e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.99310524054464e-05×40589641000000     		ar = 1158212.79498443m²