Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119666 / 118142
↖ ↑ ↗
← S 80.816014°
E148.672486°		 ← 48.74 m → S 80.816014°
E148.675232°		 →
↑
48.74 m
↓
↑
48.74 m
↓
S 80.816453°
E148.672486°		 ← 48.74 m →
2 375 m²		 S 80.816453°
E148.675232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912982940673828 y=0.901355743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912982940673828 × 217)
    floor (0.912982940673828 × 131072)
    floor (119666.5)     		tx = 119666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901355743408203 × 217)
    floor (0.901355743408203 × 131072)
    floor (118142.5)     		ty = 118142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119666 / 118142 ti = "17/119666/118142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119666/118142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119666 ÷ 217
    119666 ÷ 131072     		x = 0.912979125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118142 ÷ 217
    118142 ÷ 131072     		y = 0.901351928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912979125976562 × 2 - 1) × π
    0.825958251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59482438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901351928710938 × 2 - 1) × π
    -0.802703857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52176854141267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59482438} λ = 2.59482438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52176854141267))-π/2
    2×atan(0.0803174363571177)-π/2
    2×0.0801453954268541-π/2
    0.160290790853708-1.57079632675     		φ = -1.41050554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59482438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.672486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41050554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.816014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119666 KachelY 118142 2.59482438 -1.41050554 148.672486 -80.816014
    Oben rechts KachelX + 1 119667 KachelY 118142 2.59487231 -1.41050554 148.675232 -80.816014
    Unten links KachelX 119666 KachelY + 1 118143 2.59482438 -1.41051319 148.672486 -80.816453
    Unten rechts KachelX + 1 119667 KachelY + 1 118143 2.59487231 -1.41051319 148.675232 -80.816453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41050554--1.41051319) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dl = 48.738150000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41050554--1.41051319) × R
    7.65000000013671e-06 × 6371000     		dr = 48.738150000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59482438-2.59487231) × cos(-1.41050554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159605272532036 × 6371000     		do = 48.7373900191156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59482438-2.59487231) × cos(-1.41051319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159597720593374 × 6371000     		du = 48.7350839437952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41050554)-sin(-1.41051319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159605272532036-0.159597720593374)×R²
    abs(2.59487231-2.59482438)×7.55193866247561e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.55193866247561e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.55193866247561e-06×40589641000000     		ar = 2375.31402847059m²