Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119665 / 118390
↖ ↑ ↗
← S 80.924094°
E148.669739°		 ← 48.18 m → S 80.924094°
E148.672486°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.924527°
E148.669739°		 ← 48.18 m →
2 320 m²		 S 80.924527°
E148.672486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912975311279297 y=0.903247833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912975311279297 × 217)
    floor (0.912975311279297 × 131072)
    floor (119665.5)     		tx = 119665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903247833251953 × 217)
    floor (0.903247833251953 × 131072)
    floor (118390.5)     		ty = 118390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119665 / 118390 ti = "17/119665/118390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119665/118390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119665 ÷ 217
    119665 ÷ 131072     		x = 0.912971496582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118390 ÷ 217
    118390 ÷ 131072     		y = 0.903244018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912971496582031 × 2 - 1) × π
    0.825942993164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.59477644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903244018554688 × 2 - 1) × π
    -0.806488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53365689251845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59477644} λ = 2.59477644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53365689251845))-π/2
    2×atan(0.0793682477964965)-π/2
    2×0.0792022195676368-π/2
    0.158404439135274-1.57079632675     		φ = -1.41239189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59477644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.669739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41239189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.924094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119665 KachelY 118390 2.59477644 -1.41239189 148.669739 -80.924094
    Oben rechts KachelX + 1 119666 KachelY 118390 2.59482438 -1.41239189 148.672486 -80.924094
    Unten links KachelX 119665 KachelY + 1 118391 2.59477644 -1.41239945 148.669739 -80.924527
    Unten rechts KachelX + 1 119666 KachelY + 1 118391 2.59482438 -1.41239945 148.672486 -80.924527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41239189--1.41239945) × R
    7.55999999979551e-06 × 6371000     		dl = 48.1647599986972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41239189--1.41239945) × R
    7.55999999979551e-06 × 6371000     		dr = 48.1647599986972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59477644-2.59482438) × cos(-1.41239189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157742820956324 × 6371000     		do = 48.178717820241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59477644-2.59482438) × cos(-1.41239945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157735355601286 × 6371000     		du = 48.1764377086542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41239189)-sin(-1.41239945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157742820956324-0.157735355601286)×R²
    abs(2.59482438-2.59477644)×7.46535503787227e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46535503787227e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46535503787227e-06×40589641000000     		ar = 2320.46147022965m²