Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119665 / 118355
↖ ↑ ↗
← S 80.908918°
E148.669739°		 ← 48.26 m → S 80.908918°
E148.672486°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
S 80.909352°
E148.669739°		 ← 48.26 m →
2 327 m²		 S 80.909352°
E148.672486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912975311279297 y=0.902980804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912975311279297 × 217)
    floor (0.912975311279297 × 131072)
    floor (119665.5)     		tx = 119665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902980804443359 × 217)
    floor (0.902980804443359 × 131072)
    floor (118355.5)     		ty = 118355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119665 / 118355 ti = "17/119665/118355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119665/118355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119665 ÷ 217
    119665 ÷ 131072     		x = 0.912971496582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118355 ÷ 217
    118355 ÷ 131072     		y = 0.902976989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912971496582031 × 2 - 1) × π
    0.825942993164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.59477644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902976989746094 × 2 - 1) × π
    -0.805953979492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.53197910103175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59477644} λ = 2.59477644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53197910103175))-π/2
    2×atan(0.0795015229396502)-π/2
    2×0.0793346590306972-π/2
    0.158669318061394-1.57079632675     		φ = -1.41212701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59477644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.669739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41212701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.908918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119665 KachelY 118355 2.59477644 -1.41212701 148.669739 -80.908918
    Oben rechts KachelX + 1 119666 KachelY 118355 2.59482438 -1.41212701 148.672486 -80.908918
    Unten links KachelX 119665 KachelY + 1 118356 2.59477644 -1.41213458 148.669739 -80.909352
    Unten rechts KachelX + 1 119666 KachelY + 1 118356 2.59482438 -1.41213458 148.672486 -80.909352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41212701--1.41213458) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41212701--1.41213458) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59477644-2.59482438) × cos(-1.41212701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158004379182562 × 6371000     		do = 48.258604435043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59477644-2.59482438) × cos(-1.41213458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157996904269261 × 6371000     		du = 48.2563214041166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41212701)-sin(-1.41213458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158004379182562-0.157996904269261)×R²
    abs(2.59482438-2.59477644)×7.47491330083117e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.47491330083117e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.47491330083117e-06×40589641000000     		ar = 2327.38360260992m²