Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119663 / 118258
↖ ↑ ↗
← S 80.866726°
E148.664246°		 ← 48.47 m → S 80.866726°
E148.666992°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.867162°
E148.664246°		 ← 48.47 m →
2 350 m²		 S 80.867162°
E148.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912960052490234 y=0.902240753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912960052490234 × 217)
    floor (0.912960052490234 × 131072)
    floor (119663.5)     		tx = 119663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902240753173828 × 217)
    floor (0.902240753173828 × 131072)
    floor (118258.5)     		ty = 118258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119663 / 118258 ti = "17/119663/118258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119663/118258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119663 ÷ 217
    119663 ÷ 131072     		x = 0.912956237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118258 ÷ 217
    118258 ÷ 131072     		y = 0.902236938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912956237792969 × 2 - 1) × π
    0.825912475585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59468057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902236938476562 × 2 - 1) × π
    -0.804473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5273292217686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59468057} λ = 2.59468057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5273292217686))-π/2
    2×atan(0.0798720562224501)-π/2
    2×0.0797028542753188-π/2
    0.159405708550638-1.57079632675     		φ = -1.41139062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59468057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.664246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41139062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.866726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119663 KachelY 118258 2.59468057 -1.41139062 148.664246 -80.866726
    Oben rechts KachelX + 1 119664 KachelY 118258 2.59472850 -1.41139062 148.666992 -80.866726
    Unten links KachelX 119663 KachelY + 1 118259 2.59468057 -1.41139823 148.664246 -80.867162
    Unten rechts KachelX + 1 119664 KachelY + 1 118259 2.59472850 -1.41139823 148.666992 -80.867162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41139062--1.41139823) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dl = 48.4833100010051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41139062--1.41139823) × R
    7.61000000015777e-06 × 6371000     		dr = 48.4833100010051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59468057-2.59472850) × cos(-1.41139062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158731476048026 × 6371000     		do = 48.4705657509513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59468057-2.59472850) × cos(-1.41139823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158723962524602 × 6371000     		du = 48.4682714061861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41139062)-sin(-1.41139823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158731476048026-0.158723962524602)×R²
    abs(2.59472850-2.59468057)×7.51352342401312e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.51352342401312e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.51352342401312e-06×40589641000000     		ar = 2349.95784648544m²