Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119661 / 118155
S 80.821711°
E148.658752°
← 48.72 m → S 80.821711°
E148.661499°

48.67 m

48.67 m
S 80.822149°
E148.658752°
← 48.72 m →
2 371 m²
S 80.822149°
E148.661499°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912944793701172 y=0.901454925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912944793701172 × 217)
    floor (0.912944793701172 × 131072)
    floor (119661.5)
    tx = 119661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901454925537109 × 217)
    floor (0.901454925537109 × 131072)
    floor (118155.5)
    ty = 118155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119661 / 118155 ti = "17/119661/118155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119661/118155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119661 ÷ 217
    119661 ÷ 131072
    x = 0.912940979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118155 ÷ 217
    118155 ÷ 131072
    y = 0.901451110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.912940979003906 × 2 - 1) × π
    0.825881958007812 × 3.1415926535
    Λ = 2.59458469
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.901451110839844 × 2 - 1) × π
    -0.802902221679688 × 3.1415926535
    Φ = -2.52239172110773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59458469} λ = 2.59458469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52239172110773))-π/2
    2×atan(0.0802673997541375)-π/2
    2×0.0800956793371702-π/2
    0.16019135867434-1.57079632675
    φ = -1.41060497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59458469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.658752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41060497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.821711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119661 KachelY 118155 2.59458469 -1.41060497 148.658752 -80.821711
    Oben rechts KachelX + 1 119662 KachelY 118155 2.59463263 -1.41060497 148.661499 -80.821711
    Unten links KachelX 119661 KachelY + 1 118156 2.59458469 -1.41061261 148.658752 -80.822149
    Unten rechts KachelX + 1 119662 KachelY + 1 118156 2.59463263 -1.41061261 148.661499 -80.822149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.41060497--1.41061261) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000
    dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.41060497--1.41061261) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000
    dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.59458469-2.59463263) × cos(-1.41060497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159507116344963 × 6371000
    do = 48.7175790448945m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.59458469-2.59463263) × cos(-1.41061261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159499574156919 × 6371000
    du = 48.7152754665299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.41060497)-sin(-1.41061261))×
    abs(λ12)×abs(0.159507116344963-0.159499574156919)×
    abs(2.59463263-2.59458469)×7.5421880441906e-06×
    4.79399999999686e-05×7.5421880441906e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5421880441906e-06×40589641000000
    ar = 2371.24481540912m²