Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11966 / 13695
↖ ↑ ↗
← N 28.314053°
W 48.537598°		 ← 1 075.48 m → N 28.314053°
W 48.526611°		 →
↑
1 075.49 m
↓
↑
1 075.49 m
↓
N 28.304381°
W 48.537598°		 ← 1 075.58 m →
1 156 723 m²		 N 28.304381°
W 48.526611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365188598632812 y=0.417953491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365188598632812 × 215)
    floor (0.365188598632812 × 32768)
    floor (11966.5)     		tx = 11966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417953491210938 × 215)
    floor (0.417953491210938 × 32768)
    floor (13695.5)     		ty = 13695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11966 / 13695 ti = "15/11966/13695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11966/13695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11966 ÷ 215
    11966 ÷ 32768     		x = 0.36517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13695 ÷ 215
    13695 ÷ 32768     		y = 0.417938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.2696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84714089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417938232421875 × 2 - 1) × π
    0.16412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515609292313324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84714089} λ = -0.84714089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515609292313324))-π/2
    2×atan(1.67465854759343)-π/2
    2×1.0324848886148-π/2
    2.06496977722961-1.57079632675     		φ = 0.49417345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84714089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49417345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.314053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11966 KachelY 13695 -0.84714089 0.49417345 -48.537598 28.314053
    Oben rechts KachelX + 1 11967 KachelY 13695 -0.84694914 0.49417345 -48.526611 28.314053
    Unten links KachelX 11966 KachelY + 1 13696 -0.84714089 0.49400464 -48.537598 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 11967 KachelY + 1 13696 -0.84694914 0.49400464 -48.526611 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49417345-0.49400464) × R
    0.000168810000000019 × 6371000     		dl = 1075.48851000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49417345-0.49400464) × R
    0.000168810000000019 × 6371000     		dr = 1075.48851000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84714089--0.84694914) × cos(0.49417345) × R
    0.000191750000000046 × 0.880361046612203 × 6371000     		do = 1075.48360871281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84714089--0.84694914) × cos(0.49400464) × R
    0.000191750000000046 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 1075.58140672485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49417345)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880361046612203-0.880441101351802)×R²
    abs(-0.84694914--0.84714089)×8.00547395981566e-05×R²
    0.000191750000000046×8.00547395981566e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.00547395981566e-05×40589641000000     		ar = 1156722.85693004m²