Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119659 / 118409
↖ ↑ ↗
← S 80.932323°
E148.653259°		 ← 48.14 m → S 80.932323°
E148.656006°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.932755°
E148.653259°		 ← 48.13 m →
2 315 m²		 S 80.932755°
E148.656006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912929534912109 y=0.903392791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912929534912109 × 217)
    floor (0.912929534912109 × 131072)
    floor (119659.5)     		tx = 119659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903392791748047 × 217)
    floor (0.903392791748047 × 131072)
    floor (118409.5)     		ty = 118409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119659 / 118409 ti = "17/119659/118409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119659/118409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119659 ÷ 217
    119659 ÷ 131072     		x = 0.912925720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118409 ÷ 217
    118409 ÷ 131072     		y = 0.903388977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912925720214844 × 2 - 1) × π
    0.825851440429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.59448882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903388977050781 × 2 - 1) × π
    -0.806777954101562 × 3.1415926535     		Φ = -2.53456769361123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59448882} λ = 2.59448882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53456769361123))-π/2
    2×atan(0.0792959920199865)-π/2
    2×0.0791304156949512-π/2
    0.158260831389902-1.57079632675     		φ = -1.41253550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59448882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.653259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41253550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.932323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119659 KachelY 118409 2.59448882 -1.41253550 148.653259 -80.932323
    Oben rechts KachelX + 1 119660 KachelY 118409 2.59453676 -1.41253550 148.656006 -80.932323
    Unten links KachelX 119659 KachelY + 1 118410 2.59448882 -1.41254305 148.653259 -80.932755
    Unten rechts KachelX + 1 119660 KachelY + 1 118410 2.59453676 -1.41254305 148.656006 -80.932755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41253550--1.41254305) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41253550--1.41254305) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59448882-2.59453676) × cos(-1.41253550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15760100729451 × 6371000     		do = 48.1354042776397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59448882-2.59453676) × cos(-1.41254305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157593551643334 × 6371000     		du = 48.1331271298619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41253550)-sin(-1.41254305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15760100729451-0.157593551643334)×R²
    abs(2.59453676-2.59448882)×7.45565117654667e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45565117654667e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45565117654667e-06×40589641000000     		ar = 2315.3087212707m²