Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119657 / 118929
↖ ↑ ↗
← S 81.154663°
E148.647766°		 ← 46.96 m → S 81.154663°
E148.650513°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
S 81.155086°
E148.647766°		 ← 46.96 m →
2 205 m²		 S 81.155086°
E148.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912914276123047 y=0.907360076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912914276123047 × 217)
    floor (0.912914276123047 × 131072)
    floor (119657.5)     		tx = 119657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907360076904297 × 217)
    floor (0.907360076904297 × 131072)
    floor (118929.5)     		ty = 118929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119657 / 118929 ti = "17/119657/118929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119657/118929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119657 ÷ 217
    119657 ÷ 131072     		x = 0.912910461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118929 ÷ 217
    118929 ÷ 131072     		y = 0.907356262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912910461425781 × 2 - 1) × π
    0.825820922851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59439294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907356262207031 × 2 - 1) × π
    -0.814712524414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.55949488141366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59439294} λ = 2.59439294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55949488141366))-π/2
    2×atan(0.0773437983681214)-π/2
    2×0.0771901244026687-π/2
    0.154380248805337-1.57079632675     		φ = -1.41641608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59439294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.647766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41641608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.154663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119657 KachelY 118929 2.59439294 -1.41641608 148.647766 -81.154663
    Oben rechts KachelX + 1 119658 KachelY 118929 2.59444088 -1.41641608 148.650513 -81.154663
    Unten links KachelX 119657 KachelY + 1 118930 2.59439294 -1.41642345 148.647766 -81.155086
    Unten rechts KachelX + 1 119658 KachelY + 1 118930 2.59444088 -1.41642345 148.650513 -81.155086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41641608--1.41642345) × R
    7.36999999984e-06 × 6371000     		dl = 46.9542699989807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41641608--1.41642345) × R
    7.36999999984e-06 × 6371000     		dr = 46.9542699989807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59439294-2.59444088) × cos(-1.41641608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153767746369228 × 6371000     		do = 46.9646277229231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59439294-2.59444088) × cos(-1.41642345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153760464016326 × 6371000     		du = 46.9624035048988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41641608)-sin(-1.41642345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153767746369228-0.153760464016326)×R²
    abs(2.59444088-2.59439294)×7.28235290284318e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.28235290284318e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.28235290284318e-06×40589641000000     		ar = 2205.13759220779m²