Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119657 / 118347
↖ ↑ ↗
← S 80.905445°
E148.647766°		 ← 48.28 m → S 80.905445°
E148.650513°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.905879°
E148.647766°		 ← 48.27 m →
2 331 m²		 S 80.905879°
E148.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912914276123047 y=0.902919769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912914276123047 × 217)
    floor (0.912914276123047 × 131072)
    floor (119657.5)     		tx = 119657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902919769287109 × 217)
    floor (0.902919769287109 × 131072)
    floor (118347.5)     		ty = 118347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119657 / 118347 ti = "17/119657/118347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119657/118347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119657 ÷ 217
    119657 ÷ 131072     		x = 0.912910461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118347 ÷ 217
    118347 ÷ 131072     		y = 0.902915954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912910461425781 × 2 - 1) × π
    0.825820922851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59439294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902915954589844 × 2 - 1) × π
    -0.805831909179688 × 3.1415926535     		Φ = -2.53159560583479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59439294} λ = 2.59439294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53159560583479))-π/2
    2×atan(0.0795320172386835)-π/2
    2×0.0793649617282947-π/2
    0.158729923456589-1.57079632675     		φ = -1.41206640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59439294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.647766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41206640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.905445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119657 KachelY 118347 2.59439294 -1.41206640 148.647766 -80.905445
    Oben rechts KachelX + 1 119658 KachelY 118347 2.59444088 -1.41206640 148.650513 -80.905445
    Unten links KachelX 119657 KachelY + 1 118348 2.59439294 -1.41207398 148.647766 -80.905879
    Unten rechts KachelX + 1 119658 KachelY + 1 118348 2.59444088 -1.41207398 148.650513 -80.905879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41206640--1.41207398) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dl = 48.2921799993374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41206640--1.41207398) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dr = 48.2921799993374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59439294-2.59444088) × cos(-1.41206640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158064227534416 × 6371000     		do = 48.2768836621956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59439294-2.59444088) × cos(-1.41207398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158056742819322 × 6371000     		du = 48.2745976375494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41206640)-sin(-1.41207398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158064227534416-0.158056742819322)×R²
    abs(2.59444088-2.59439294)×7.48471509384729e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48471509384729e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48471509384729e-06×40589641000000     		ar = 2331.34075711612m²