Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119656 / 118377
↖ ↑ ↗
← S 80.918460°
E148.645020°		 ← 48.20 m → S 80.918460°
E148.647766°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.918894°
E148.645020°		 ← 48.20 m →
2 321 m²		 S 80.918894°
E148.647766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912906646728516 y=0.903148651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912906646728516 × 217)
    floor (0.912906646728516 × 131072)
    floor (119656.5)     		tx = 119656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903148651123047 × 217)
    floor (0.903148651123047 × 131072)
    floor (118377.5)     		ty = 118377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119656 / 118377 ti = "17/119656/118377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119656/118377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119656 ÷ 217
    119656 ÷ 131072     		x = 0.91290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118377 ÷ 217
    118377 ÷ 131072     		y = 0.903144836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91290283203125 × 2 - 1) × π
    0.8258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59434501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903144836425781 × 2 - 1) × π
    -0.806289672851562 × 3.1415926535     		Φ = -2.53303371282339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59434501} λ = 2.59434501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53303371282339))-π/2
    2×atan(0.0794177238916036)-π/2
    2×0.0792513857561432-π/2
    0.158502771512286-1.57079632675     		φ = -1.41229356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59434501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41229356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.918460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119656 KachelY 118377 2.59434501 -1.41229356 148.645020 -80.918460
    Oben rechts KachelX + 1 119657 KachelY 118377 2.59439294 -1.41229356 148.647766 -80.918460
    Unten links KachelX 119656 KachelY + 1 118378 2.59434501 -1.41230112 148.645020 -80.918894
    Unten rechts KachelX + 1 119657 KachelY + 1 118378 2.59439294 -1.41230112 148.647766 -80.918894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41229356--1.41230112) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41229356--1.41230112) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59434501-2.59439294) × cos(-1.41229356) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157839919124482 × 6371000     		do = 48.1983181189173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59434501-2.59439294) × cos(-1.41230112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15783245388674 × 6371000     		du = 48.1960385187657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41229356)-sin(-1.41230112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157839919124482-0.15783245388674)×R²
    abs(2.59439294-2.59434501)×7.46523774272645e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.46523774272645e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.46523774272645e-06×40589641000000     		ar = 2321.40552643193m²