Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119656 / 118360
↖ ↑ ↗
← S 80.911088°
E148.645020°		 ← 48.24 m → S 80.911088°
E148.647766°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
S 80.911521°
E148.645020°		 ← 48.23 m →
2 326 m²		 S 80.911521°
E148.647766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912906646728516 y=0.903018951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912906646728516 × 217)
    floor (0.912906646728516 × 131072)
    floor (119656.5)     		tx = 119656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903018951416016 × 217)
    floor (0.903018951416016 × 131072)
    floor (118360.5)     		ty = 118360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119656 / 118360 ti = "17/119656/118360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119656/118360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119656 ÷ 217
    119656 ÷ 131072     		x = 0.91290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118360 ÷ 217
    118360 ÷ 131072     		y = 0.90301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91290283203125 × 2 - 1) × π
    0.8258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59434501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.8060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53221878552985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59434501} λ = 2.59434501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53221878552985))-π/2
    2×atan(0.0794824699404717)-π/2
    2×0.0793157256709932-π/2
    0.158631451341986-1.57079632675     		φ = -1.41216488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59434501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41216488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.911088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119656 KachelY 118360 2.59434501 -1.41216488 148.645020 -80.911088
    Oben rechts KachelX + 1 119657 KachelY 118360 2.59439294 -1.41216488 148.647766 -80.911088
    Unten links KachelX 119656 KachelY + 1 118361 2.59434501 -1.41217245 148.645020 -80.911521
    Unten rechts KachelX + 1 119657 KachelY + 1 118361 2.59439294 -1.41217245 148.647766 -80.911521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41216488--1.41217245) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dl = 48.2284699997246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41216488--1.41217245) × R
    7.56999999995678e-06 × 6371000     		dr = 48.2284699997246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59434501-2.59439294) × cos(-1.41216488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157966984776634 × 6371000     		do = 48.2371191444017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59434501-2.59439294) × cos(-1.41217245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157959509818044 × 6371000     		du = 48.2348365758723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41216488)-sin(-1.41217245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157966984776634-0.157959509818044)×R²
    abs(2.59439294-2.59434501)×7.47495859046432e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.47495859046432e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.47495859046432e-06×40589641000000     		ar = 2326.34741114153m²