Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119654 / 118237
↖ ↑ ↗
← S 80.857566°
E148.639526°		 ← 48.53 m → S 80.857566°
E148.642273°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.858002°
E148.639526°		 ← 48.53 m →
2 353 m²		 S 80.858002°
E148.642273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912891387939453 y=0.902080535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912891387939453 × 217)
    floor (0.912891387939453 × 131072)
    floor (119654.5)     		tx = 119654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902080535888672 × 217)
    floor (0.902080535888672 × 131072)
    floor (118237.5)     		ty = 118237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119654 / 118237 ti = "17/119654/118237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119654/118237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119654 ÷ 217
    119654 ÷ 131072     		x = 0.912887573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118237 ÷ 217
    118237 ÷ 131072     		y = 0.902076721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912887573242188 × 2 - 1) × π
    0.825775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59424913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902076721191406 × 2 - 1) × π
    -0.804153442382812 × 3.1415926535     		Φ = -2.52632254687658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59424913} λ = 2.59424913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52632254687658))-π/2
    2×atan(0.0799525019005518)-π/2
    2×0.0797827894893127-π/2
    0.159565578978625-1.57079632675     		φ = -1.41123075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59424913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41123075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.857566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119654 KachelY 118237 2.59424913 -1.41123075 148.639526 -80.857566
    Oben rechts KachelX + 1 119655 KachelY 118237 2.59429707 -1.41123075 148.642273 -80.857566
    Unten links KachelX 119654 KachelY + 1 118238 2.59424913 -1.41123836 148.639526 -80.858002
    Unten rechts KachelX + 1 119655 KachelY + 1 118238 2.59429707 -1.41123836 148.642273 -80.858002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41123075--1.41123836) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41123075--1.41123836) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59424913-2.59429707) × cos(-1.41123075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15888931715358 × 6371000     		do = 48.528887269695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59424913-2.59429707) × cos(-1.41123836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158881803823362 × 6371000     		du = 48.5265925052533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41123075)-sin(-1.41123836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15888931715358-0.158881803823362)×R²
    abs(2.59429707-2.59424913)×7.51333021792311e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51333021792311e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51333021792311e-06×40589641000000     		ar = 2352.78545669799m²