Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119653 / 119659
↖ ↑ ↗
← S 81.457697°
E148.636780°		 ← 45.36 m → S 81.457697°
E148.639526°		 →
↑
45.36 m
↓
↑
45.36 m
↓
S 81.458105°
E148.636780°		 ← 45.36 m →
2 057 m²		 S 81.458105°
E148.639526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912883758544922 y=0.912929534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912883758544922 × 217)
    floor (0.912883758544922 × 131072)
    floor (119653.5)     		tx = 119653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912929534912109 × 217)
    floor (0.912929534912109 × 131072)
    floor (119659.5)     		ty = 119659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119653 / 119659 ti = "17/119653/119659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119653/119659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119653 ÷ 217
    119653 ÷ 131072     		x = 0.912879943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119659 ÷ 217
    119659 ÷ 131072     		y = 0.912925720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912879943847656 × 2 - 1) × π
    0.825759887695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.59420120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912925720214844 × 2 - 1) × π
    -0.825851440429688 × 3.1415926535     		Φ = -2.5944888181363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59420120} λ = 2.59420120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5944888181363))-π/2
    2×atan(0.0746840434468881)-π/2
    2×0.0745456510786711-π/2
    0.149091302157342-1.57079632675     		φ = -1.42170502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59420120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.636780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42170502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.457697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119653 KachelY 119659 2.59420120 -1.42170502 148.636780 -81.457697
    Oben rechts KachelX + 1 119654 KachelY 119659 2.59424913 -1.42170502 148.639526 -81.457697
    Unten links KachelX 119653 KachelY + 1 119660 2.59420120 -1.42171214 148.636780 -81.458105
    Unten rechts KachelX + 1 119654 KachelY + 1 119660 2.59424913 -1.42171214 148.639526 -81.458105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42170502--1.42171214) × R
    7.11999999980506e-06 × 6371000     		dl = 45.361519998758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42170502--1.42171214) × R
    7.11999999980506e-06 × 6371000     		dr = 45.361519998758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59420120-2.59424913) × cos(-1.42170502) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148539581340054 × 6371000     		do = 45.3583480933767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59420120-2.59424913) × cos(-1.42171214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148532540322272 × 6371000     		du = 45.3561980338935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42170502)-sin(-1.42171214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148539581340054-0.148532540322272)×R²
    abs(2.59424913-2.59420120)×7.04101778215005e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.04101778215005e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.04101778215005e-06×40589641000000     		ar = 2057.47484911036m²