Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119652 / 118110
↖ ↑ ↗
← S 80.801976°
E148.634033°		 ← 48.82 m → S 80.801976°
E148.636780°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
S 80.802415°
E148.634033°		 ← 48.82 m →
2 383 m²		 S 80.802415°
E148.636780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912876129150391 y=0.901111602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912876129150391 × 217)
    floor (0.912876129150391 × 131072)
    floor (119652.5)     		tx = 119652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901111602783203 × 217)
    floor (0.901111602783203 × 131072)
    floor (118110.5)     		ty = 118110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119652 / 118110 ti = "17/119652/118110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119652/118110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119652 ÷ 217
    119652 ÷ 131072     		x = 0.912872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118110 ÷ 217
    118110 ÷ 131072     		y = 0.901107788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912872314453125 × 2 - 1) × π
    0.82574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59415326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901107788085938 × 2 - 1) × π
    -0.802215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52023456062483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59415326} λ = 2.59415326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52023456062483))-π/2
    2×atan(0.0804407363071174)-π/2
    2×0.0802679038744283-π/2
    0.160535807748857-1.57079632675     		φ = -1.41026052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59415326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41026052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.801976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119652 KachelY 118110 2.59415326 -1.41026052 148.634033 -80.801976
    Oben rechts KachelX + 1 119653 KachelY 118110 2.59420120 -1.41026052 148.636780 -80.801976
    Unten links KachelX 119652 KachelY + 1 118111 2.59415326 -1.41026818 148.634033 -80.802415
    Unten rechts KachelX + 1 119653 KachelY + 1 118111 2.59420120 -1.41026818 148.636780 -80.802415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41026052--1.41026818) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41026052--1.41026818) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59415326-2.59420120) × cos(-1.41026052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159847146806231 × 6371000     		do = 48.8214331001496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59415326-2.59420120) × cos(-1.41026818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159839585295522 × 6371000     		du = 48.819123620146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41026052)-sin(-1.41026818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159847146806231-0.159839585295522)×R²
    abs(2.59420120-2.59415326)×7.56151070821498e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56151070821498e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56151070821498e-06×40589641000000     		ar = 2382.52038982764m²