Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119652 / 118100
↖ ↑ ↗
← S 80.797585°
E148.634033°		 ← 48.84 m → S 80.797585°
E148.636780°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
S 80.798024°
E148.634033°		 ← 48.84 m →
2 384 m²		 S 80.798024°
E148.636780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912876129150391 y=0.901035308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912876129150391 × 217)
    floor (0.912876129150391 × 131072)
    floor (119652.5)     		tx = 119652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901035308837891 × 217)
    floor (0.901035308837891 × 131072)
    floor (118100.5)     		ty = 118100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119652 / 118100 ti = "17/119652/118100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119652/118100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119652 ÷ 217
    119652 ÷ 131072     		x = 0.912872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118100 ÷ 217
    118100 ÷ 131072     		y = 0.901031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912872314453125 × 2 - 1) × π
    0.82574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59415326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.80206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51975519162863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59415326} λ = 2.59415326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51975519162863))-π/2
    2×atan(0.0804793063460364)-π/2
    2×0.0803062258241287-π/2
    0.160612451648257-1.57079632675     		φ = -1.41018388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59415326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41018388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.797585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119652 KachelY 118100 2.59415326 -1.41018388 148.634033 -80.797585
    Oben rechts KachelX + 1 119653 KachelY 118100 2.59420120 -1.41018388 148.636780 -80.797585
    Unten links KachelX 119652 KachelY + 1 118101 2.59415326 -1.41019154 148.634033 -80.798024
    Unten rechts KachelX + 1 119653 KachelY + 1 118101 2.59420120 -1.41019154 148.636780 -80.798024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41018388--1.41019154) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41018388--1.41019154) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59415326-2.59420120) × cos(-1.41018388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159922800882568 × 6371000     		do = 48.8445398023989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59415326-2.59420120) × cos(-1.41019154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15991523946572 × 6371000     		du = 48.8422303510627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41018388)-sin(-1.41019154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159922800882568-0.15991523946572)×R²
    abs(2.59420120-2.59415326)×7.56141684798983e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56141684798983e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56141684798983e-06×40589641000000     		ar = 2383.64804051006m²