Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119649 / 119661
↖ ↑ ↗
← S 81.458513°
E148.625794°		 ← 45.36 m → S 81.458513°
E148.628540°		 →
↑
45.36 m
↓
↑
45.36 m
↓
S 81.458921°
E148.625794°		 ← 45.36 m →
2 058 m²		 S 81.458921°
E148.628540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912853240966797 y=0.912944793701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912853240966797 × 217)
    floor (0.912853240966797 × 131072)
    floor (119649.5)     		tx = 119649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912944793701172 × 217)
    floor (0.912944793701172 × 131072)
    floor (119661.5)     		ty = 119661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119649 / 119661 ti = "17/119649/119661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119649/119661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119649 ÷ 217
    119649 ÷ 131072     		x = 0.912849426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119661 ÷ 217
    119661 ÷ 131072     		y = 0.912940979003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912849426269531 × 2 - 1) × π
    0.825698852539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.59400945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912940979003906 × 2 - 1) × π
    -0.825881958007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.59458469193554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59400945} λ = 2.59400945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59458469193554))-π/2
    2×atan(0.0746768835471291)-π/2
    2×0.0745385308894296-π/2
    0.149077061778859-1.57079632675     		φ = -1.42171926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59400945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.625794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42171926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.458513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119649 KachelY 119661 2.59400945 -1.42171926 148.625794 -81.458513
    Oben rechts KachelX + 1 119650 KachelY 119661 2.59405739 -1.42171926 148.628540 -81.458513
    Unten links KachelX 119649 KachelY + 1 119662 2.59400945 -1.42172638 148.625794 -81.458921
    Unten rechts KachelX + 1 119650 KachelY + 1 119662 2.59405739 -1.42172638 148.628540 -81.458921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42171926--1.42172638) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dl = 45.3615200001727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42171926--1.42172638) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dr = 45.3615200001727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59400945-2.59405739) × cos(-1.42171926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14852549929696 × 6371000     		do = 45.3635105316136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59400945-2.59405739) × cos(-1.42172638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148518458264118 × 6371000     		du = 45.3613600189476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42171926)-sin(-1.42172638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14852549929696-0.148518458264118)×R²
    abs(2.59405739-2.59400945)×7.04103284154822e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.04103284154822e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.04103284154822e-06×40589641000000     		ar = 2057.70901501357m²