Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119648 / 118112
↖ ↑ ↗
← S 80.802854°
E148.623047°		 ← 48.82 m → S 80.802854°
E148.625794°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.803293°
E148.623047°		 ← 48.81 m →
2 385 m²		 S 80.803293°
E148.625794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912845611572266 y=0.901126861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912845611572266 × 217)
    floor (0.912845611572266 × 131072)
    floor (119648.5)     		tx = 119648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901126861572266 × 217)
    floor (0.901126861572266 × 131072)
    floor (118112.5)     		ty = 118112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119648 / 118112 ti = "17/119648/118112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119648/118112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119648 ÷ 217
    119648 ÷ 131072     		x = 0.912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118112 ÷ 217
    118112 ÷ 131072     		y = 0.901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912841796875 × 2 - 1) × π
    0.82568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59396151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.80224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52033043442407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59396151} λ = 2.59396151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52033043442407))-π/2
    2×atan(0.0804330245177992)-π/2
    2×0.0802602416603381-π/2
    0.160520483320676-1.57079632675     		φ = -1.41027584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59396151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41027584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.802854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119648 KachelY 118112 2.59396151 -1.41027584 148.623047 -80.802854
    Oben rechts KachelX + 1 119649 KachelY 118112 2.59400945 -1.41027584 148.625794 -80.802854
    Unten links KachelX 119648 KachelY + 1 118113 2.59396151 -1.41028351 148.623047 -80.803293
    Unten rechts KachelX + 1 119649 KachelY + 1 118113 2.59400945 -1.41028351 148.625794 -80.803293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41027584--1.41028351) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41027584--1.41028351) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59396151-2.59400945) × cos(-1.41027584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159832023775436 × 6371000     		do = 48.816814137278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59396151-2.59400945) × cos(-1.41028351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159824452374516 × 6371000     		du = 48.8145016365493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41027584)-sin(-1.41028351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159832023775436-0.159824452374516)×R²
    abs(2.59400945-2.59396151)×7.57140091958708e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57140091958708e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57140091958708e-06×40589641000000     		ar = 2385.40494749666m²