Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119645 / 118117
↖ ↑ ↗
← S 80.805049°
E148.614807°		 ← 48.81 m → S 80.805049°
E148.617554°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
S 80.805487°
E148.614807°		 ← 48.80 m →
2 382 m²		 S 80.805487°
E148.617554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912822723388672 y=0.901165008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912822723388672 × 217)
    floor (0.912822723388672 × 131072)
    floor (119645.5)     		tx = 119645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901165008544922 × 217)
    floor (0.901165008544922 × 131072)
    floor (118117.5)     		ty = 118117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119645 / 118117 ti = "17/119645/118117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119645/118117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119645 ÷ 217
    119645 ÷ 131072     		x = 0.912818908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118117 ÷ 217
    118117 ÷ 131072     		y = 0.901161193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912818908691406 × 2 - 1) × π
    0.825637817382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.59381770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901161193847656 × 2 - 1) × π
    -0.802322387695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.52057011892217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59381770} λ = 2.59381770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52057011892217))-π/2
    2×atan(0.080413748278887)-π/2
    2×0.0802410892973986-π/2
    0.160482178594797-1.57079632675     		φ = -1.41031415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59381770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.614807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41031415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.805049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119645 KachelY 118117 2.59381770 -1.41031415 148.614807 -80.805049
    Oben rechts KachelX + 1 119646 KachelY 118117 2.59386564 -1.41031415 148.617554 -80.805049
    Unten links KachelX 119645 KachelY + 1 118118 2.59381770 -1.41032181 148.614807 -80.805487
    Unten rechts KachelX + 1 119646 KachelY + 1 118118 2.59386564 -1.41032181 148.617554 -80.805487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41031415--1.41032181) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41031415--1.41032181) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59381770-2.59386564) × cos(-1.41031415) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.159794206162833 × 6371000     		do = 48.805263665416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59381770-2.59386564) × cos(-1.41032181) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.159786644586472 × 6371000     		du = 48.8029541653601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41031415)-sin(-1.41032181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159794206162833-0.159786644586472)×R²
    abs(2.59386564-2.59381770)×7.56157636169763e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.56157636169763e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.56157636169763e-06×40589641000000     		ar = 2381.73129078357m²