Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119643 / 118108
↖ ↑ ↗
← S 80.801097°
E148.609314°		 ← 48.82 m → S 80.801097°
E148.612060°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.801537°
E148.609314°		 ← 48.81 m →
2 385 m²		 S 80.801537°
E148.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912807464599609 y=0.901096343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912807464599609 × 217)
    floor (0.912807464599609 × 131072)
    floor (119643.5)     		tx = 119643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901096343994141 × 217)
    floor (0.901096343994141 × 131072)
    floor (118108.5)     		ty = 118108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119643 / 118108 ti = "17/119643/118108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119643/118108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119643 ÷ 217
    119643 ÷ 131072     		x = 0.912803649902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118108 ÷ 217
    118108 ÷ 131072     		y = 0.901092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912803649902344 × 2 - 1) × π
    0.825607299804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.59372183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.80218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52013868682559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59372183} λ = 2.59372183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52013868682559))-π/2
    2×atan(0.0804484488358296)-π/2
    2×0.0802755668137127-π/2
    0.160551133627425-1.57079632675     		φ = -1.41024519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59372183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.609314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41024519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.801097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119643 KachelY 118108 2.59372183 -1.41024519 148.609314 -80.801097
    Oben rechts KachelX + 1 119644 KachelY 118108 2.59376976 -1.41024519 148.612060 -80.801097
    Unten links KachelX 119643 KachelY + 1 118109 2.59372183 -1.41025286 148.609314 -80.801537
    Unten rechts KachelX + 1 119644 KachelY + 1 118109 2.59376976 -1.41025286 148.612060 -80.801537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41024519--1.41025286) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41024519--1.41025286) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59372183-2.59376976) × cos(-1.41024519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159862279670902 × 6371000     		do = 48.8158702407643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59372183-2.59376976) × cos(-1.41025286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15985470830756 × 6371000     		du = 48.8135582338841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41024519)-sin(-1.41025286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159862279670902-0.15985470830756)×R²
    abs(2.59376976-2.59372183)×7.57136334272879e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.57136334272879e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.57136334272879e-06×40589641000000     		ar = 2385.35883564241m²