Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119641 / 118329
↖ ↑ ↗
← S 80.897628°
E148.603821°		 ← 48.32 m → S 80.897628°
E148.606567°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.898062°
E148.603821°		 ← 48.32 m →
2 333 m²		 S 80.898062°
E148.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912792205810547 y=0.902782440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912792205810547 × 217)
    floor (0.912792205810547 × 131072)
    floor (119641.5)     		tx = 119641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902782440185547 × 217)
    floor (0.902782440185547 × 131072)
    floor (118329.5)     		ty = 118329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119641 / 118329 ti = "17/119641/118329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119641/118329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119641 ÷ 217
    119641 ÷ 131072     		x = 0.912788391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118329 ÷ 217
    118329 ÷ 131072     		y = 0.902778625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912788391113281 × 2 - 1) × π
    0.825576782226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59362595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902778625488281 × 2 - 1) × π
    -0.805557250976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.53073274164162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59362595} λ = 2.59362595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53073274164162))-π/2
    2×atan(0.0796006721842561)-π/2
    2×0.0794331847672074-π/2
    0.158866369534415-1.57079632675     		φ = -1.41192996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59362595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.603821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41192996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.897628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119641 KachelY 118329 2.59362595 -1.41192996 148.603821 -80.897628
    Oben rechts KachelX + 1 119642 KachelY 118329 2.59367389 -1.41192996 148.606567 -80.897628
    Unten links KachelX 119641 KachelY + 1 118330 2.59362595 -1.41193754 148.603821 -80.898062
    Unten rechts KachelX + 1 119642 KachelY + 1 118330 2.59367389 -1.41193754 148.606567 -80.898062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41192996--1.41193754) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41192996--1.41193754) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59362595-2.59367389) × cos(-1.41192996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158198950852702 × 6371000     		do = 48.3180316313785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59362595-2.59367389) × cos(-1.41193754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158191466301146 × 6371000     		du = 48.315745656681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41192996)-sin(-1.41193754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158198950852702-0.158191466301146)×R²
    abs(2.59367389-2.59362595)×7.48455155583083e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48455155583083e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48455155583083e-06×40589641000000     		ar = 2333.32788361754m²