Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119640 / 118040
↖ ↑ ↗
← S 80.771193°
E148.601074°		 ← 48.97 m → S 80.771193°
E148.603821°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
S 80.771633°
E148.601074°		 ← 48.97 m →
2 399 m²		 S 80.771633°
E148.603821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912784576416016 y=0.900577545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912784576416016 × 217)
    floor (0.912784576416016 × 131072)
    floor (119640.5)     		tx = 119640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900577545166016 × 217)
    floor (0.900577545166016 × 131072)
    floor (118040.5)     		ty = 118040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119640 / 118040 ti = "17/119640/118040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119640/118040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119640 ÷ 217
    119640 ÷ 131072     		x = 0.91278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118040 ÷ 217
    118040 ÷ 131072     		y = 0.90057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91278076171875 × 2 - 1) × π
    0.8255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59357802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90057373046875 × 2 - 1) × π
    -0.8011474609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51687897765143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59357802} λ = 2.59357802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51687897765143))-π/2
    2×atan(0.0807111152580356)-π/2
    2×0.080536538717456-π/2
    0.161073077434912-1.57079632675     		φ = -1.40972325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59357802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40972325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.771193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119640 KachelY 118040 2.59357802 -1.40972325 148.601074 -80.771193
    Oben rechts KachelX + 1 119641 KachelY 118040 2.59362595 -1.40972325 148.603821 -80.771193
    Unten links KachelX 119640 KachelY + 1 118041 2.59357802 -1.40973094 148.601074 -80.771633
    Unten rechts KachelX + 1 119641 KachelY + 1 118041 2.59362595 -1.40973094 148.603821 -80.771633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40972325--1.40973094) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40972325--1.40973094) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59357802-2.59362595) × cos(-1.40972325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16037748537306 × 6371000     		do = 48.9731944998429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59357802-2.59362595) × cos(-1.40973094) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160369894909567 × 6371000     		du = 48.9708766605021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40972325)-sin(-1.40973094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16037748537306-0.160369894909567)×R²
    abs(2.59362595-2.59357802)×7.5904634927737e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.5904634927737e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.5904634927737e-06×40589641000000     		ar = 2399.28644944872m²