Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119639 / 119637
↖ ↑ ↗
← S 81.448717°
E148.598328°		 ← 45.42 m → S 81.448717°
E148.601074°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
S 81.449126°
E148.598328°		 ← 45.41 m →
2 063 m²		 S 81.449126°
E148.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912776947021484 y=0.912761688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912776947021484 × 217)
    floor (0.912776947021484 × 131072)
    floor (119639.5)     		tx = 119639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912761688232422 × 217)
    floor (0.912761688232422 × 131072)
    floor (119637.5)     		ty = 119637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119639 / 119637 ti = "17/119639/119637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119639/119637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119639 ÷ 217
    119639 ÷ 131072     		x = 0.912773132324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119637 ÷ 217
    119637 ÷ 131072     		y = 0.912757873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912773132324219 × 2 - 1) × π
    0.825546264648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59353008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912757873535156 × 2 - 1) × π
    -0.825515747070312 × 3.1415926535     		Φ = -2.59343420634466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59353008} λ = 2.59353008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59343420634466))-π/2
    2×atan(0.0747628476663803)-π/2
    2×0.0746240177306097-π/2
    0.149248035461219-1.57079632675     		φ = -1.42154829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59353008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.598328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42154829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.448717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119639 KachelY 119637 2.59353008 -1.42154829 148.598328 -81.448717
    Oben rechts KachelX + 1 119640 KachelY 119637 2.59357802 -1.42154829 148.601074 -81.448717
    Unten links KachelX 119639 KachelY + 1 119638 2.59353008 -1.42155542 148.598328 -81.449126
    Unten rechts KachelX + 1 119640 KachelY + 1 119638 2.59357802 -1.42155542 148.601074 -81.449126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42154829--1.42155542) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42154829--1.42155542) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59353008-2.59357802) × cos(-1.42154829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148694570824997 × 6371000     		do = 45.4151493281774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59353008-2.59357802) × cos(-1.42155542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148687520084213 × 6371000     		du = 45.4129958504559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42154829)-sin(-1.42155542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148694570824997-0.148687520084213)×R²
    abs(2.59357802-2.59353008)×7.05074078410917e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.05074078410917e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.05074078410917e-06×40589641000000     		ar = 2062.94469255621m²