Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119637 / 119671
↖ ↑ ↗
← S 81.462592°
E148.592835°		 ← 45.33 m → S 81.462592°
E148.595581°		 →
↑
45.30 m
↓
↑
45.30 m
↓
S 81.463000°
E148.592835°		 ← 45.33 m →
2 053 m²		 S 81.463000°
E148.595581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912761688232422 y=0.913021087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912761688232422 × 217)
    floor (0.912761688232422 × 131072)
    floor (119637.5)     		tx = 119637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913021087646484 × 217)
    floor (0.913021087646484 × 131072)
    floor (119671.5)     		ty = 119671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119637 / 119671 ti = "17/119637/119671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119637/119671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119637 ÷ 217
    119637 ÷ 131072     		x = 0.912757873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119671 ÷ 217
    119671 ÷ 131072     		y = 0.913017272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912757873535156 × 2 - 1) × π
    0.825515747070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.59343421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913017272949219 × 2 - 1) × π
    -0.826034545898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.59506406093174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59343421} λ = 2.59343421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59506406093174))-π/2
    2×atan(0.0746410943432264)-π/2
    2×0.0745029400675132-π/2
    0.149005880135026-1.57079632675     		φ = -1.42179045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59343421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.592835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42179045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.462592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119637 KachelY 119671 2.59343421 -1.42179045 148.592835 -81.462592
    Oben rechts KachelX + 1 119638 KachelY 119671 2.59348214 -1.42179045 148.595581 -81.462592
    Unten links KachelX 119637 KachelY + 1 119672 2.59343421 -1.42179756 148.592835 -81.463000
    Unten rechts KachelX + 1 119638 KachelY + 1 119672 2.59348214 -1.42179756 148.595581 -81.463000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42179045--1.42179756) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dl = 45.2978099991452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42179045--1.42179756) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dr = 45.2978099991452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59343421-2.59348214) × cos(-1.42179045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148455098518971 × 6371000     		do = 45.3325502476308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59343421-2.59348214) × cos(-1.42179756) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148448067300068 × 6371000     		du = 45.3304031803531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42179045)-sin(-1.42179756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148455098518971-0.148448067300068)×R²
    abs(2.59348214-2.59343421)×7.03121890321956e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.03121890321956e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.03121890321956e-06×40589641000000     		ar = 2053.41661916696m²