Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119634 / 118097
↖ ↑ ↗
← S 80.796266°
E148.584595°		 ← 48.84 m → S 80.796266°
E148.587341°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.796706°
E148.584595°		 ← 48.84 m →
2 387 m²		 S 80.796706°
E148.587341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912738800048828 y=0.901012420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912738800048828 × 217)
    floor (0.912738800048828 × 131072)
    floor (119634.5)     		tx = 119634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901012420654297 × 217)
    floor (0.901012420654297 × 131072)
    floor (118097.5)     		ty = 118097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119634 / 118097 ti = "17/119634/118097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119634/118097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119634 ÷ 217
    119634 ÷ 131072     		x = 0.912734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118097 ÷ 217
    118097 ÷ 131072     		y = 0.901008605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912734985351562 × 2 - 1) × π
    0.825469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59329040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901008605957031 × 2 - 1) × π
    -0.802017211914062 × 3.1415926535     		Φ = -2.51961138092977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59329040} λ = 2.59329040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51961138092977))-π/2
    2×atan(0.0804908809635828)-π/2
    2×0.0803177259456095-π/2
    0.160635451891219-1.57079632675     		φ = -1.41016087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59329040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.584595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41016087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.796266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119634 KachelY 118097 2.59329040 -1.41016087 148.584595 -80.796266
    Oben rechts KachelX + 1 119635 KachelY 118097 2.59333833 -1.41016087 148.587341 -80.796266
    Unten links KachelX 119634 KachelY + 1 118098 2.59329040 -1.41016854 148.584595 -80.796706
    Unten rechts KachelX + 1 119635 KachelY + 1 118098 2.59333833 -1.41016854 148.587341 -80.796706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41016087--1.41016854) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41016087--1.41016854) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59329040-2.59333833) × cos(-1.41016087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159945514690584 × 6371000     		do = 48.8412870553414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59329040-2.59333833) × cos(-1.41016854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159937943430654 × 6371000     		du = 48.8389750800396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41016087)-sin(-1.41016854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159945514690584-0.159937943430654)×R²
    abs(2.59333833-2.59329040)×7.57125992981167e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.57125992981167e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.57125992981167e-06×40589641000000     		ar = 2386.6008435295m²