Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119631 / 118354
↖ ↑ ↗
← S 80.908484°
E148.576355°		 ← 48.26 m → S 80.908484°
E148.579101°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.908918°
E148.576355°		 ← 48.26 m →
2 331 m²		 S 80.908918°
E148.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912715911865234 y=0.902973175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912715911865234 × 217)
    floor (0.912715911865234 × 131072)
    floor (119631.5)     		tx = 119631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902973175048828 × 217)
    floor (0.902973175048828 × 131072)
    floor (118354.5)     		ty = 118354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119631 / 118354 ti = "17/119631/118354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119631/118354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119631 ÷ 217
    119631 ÷ 131072     		x = 0.912712097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118354 ÷ 217
    118354 ÷ 131072     		y = 0.902969360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912712097167969 × 2 - 1) × π
    0.825424194335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59314658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902969360351562 × 2 - 1) × π
    -0.805938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53193116413213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59314658} λ = 2.59314658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53193116413213))-π/2
    2×atan(0.0795053340875216)-π/2
    2×0.0793384462403919-π/2
    0.158676892480784-1.57079632675     		φ = -1.41211943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59314658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.576355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41211943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.908484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119631 KachelY 118354 2.59314658 -1.41211943 148.576355 -80.908484
    Oben rechts KachelX + 1 119632 KachelY 118354 2.59319452 -1.41211943 148.579101 -80.908484
    Unten links KachelX 119631 KachelY + 1 118355 2.59314658 -1.41212701 148.576355 -80.908918
    Unten rechts KachelX + 1 119632 KachelY + 1 118355 2.59319452 -1.41212701 148.579101 -80.908918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41211943--1.41212701) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41211943--1.41212701) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59314658-2.59319452) × cos(-1.41211943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158011863961181 × 6371000     		do = 48.2608904790913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59314658-2.59319452) × cos(-1.41212701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158004379182562 × 6371000     		du = 48.258604435043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41211943)-sin(-1.41212701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158011863961181-0.158004379182562)×R²
    abs(2.59319452-2.59314658)×7.48477861869934e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48477861869934e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48477861869934e-06×40589641000000     		ar = 2330.56841110719m²