Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119631 / 118096
↖ ↑ ↗
← S 80.795827°
E148.576355°		 ← 48.85 m → S 80.795827°
E148.579101°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
S 80.796266°
E148.576355°		 ← 48.85 m →
2 384 m²		 S 80.796266°
E148.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912715911865234 y=0.901004791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912715911865234 × 217)
    floor (0.912715911865234 × 131072)
    floor (119631.5)     		tx = 119631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901004791259766 × 217)
    floor (0.901004791259766 × 131072)
    floor (118096.5)     		ty = 118096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119631 / 118096 ti = "17/119631/118096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119631/118096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119631 ÷ 217
    119631 ÷ 131072     		x = 0.912712097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118096 ÷ 217
    118096 ÷ 131072     		y = 0.9010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912712097167969 × 2 - 1) × π
    0.825424194335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.59314658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.802001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51956344403015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59314658} λ = 2.59314658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51956344403015))-π/2
    2×atan(0.0804947395393472)-π/2
    2×0.0803215596822397-π/2
    0.160643119364479-1.57079632675     		φ = -1.41015321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59314658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.576355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41015321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.795827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119631 KachelY 118096 2.59314658 -1.41015321 148.576355 -80.795827
    Oben rechts KachelX + 1 119632 KachelY 118096 2.59319452 -1.41015321 148.579101 -80.795827
    Unten links KachelX 119631 KachelY + 1 118097 2.59314658 -1.41016087 148.576355 -80.796266
    Unten rechts KachelX + 1 119632 KachelY + 1 118097 2.59319452 -1.41016087 148.579101 -80.796266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41015321--1.41016087) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41015321--1.41016087) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59314658-2.59319452) × cos(-1.41015321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159953076069858 × 6371000     		do = 48.8537866238806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59314658-2.59319452) × cos(-1.41016087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159945514690584 × 6371000     		du = 48.8514771840204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41015321)-sin(-1.41016087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159953076069858-0.159945514690584)×R²
    abs(2.59319452-2.59314658)×7.56137927407363e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56137927407363e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56137927407363e-06×40589641000000     		ar = 2384.09930281866m²