Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119630 / 118415
↖ ↑ ↗
← S 80.934919°
E148.573609°		 ← 48.11 m → S 80.934919°
E148.576355°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.935352°
E148.573609°		 ← 48.11 m →
2 314 m²		 S 80.935352°
E148.576355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912708282470703 y=0.903438568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912708282470703 × 217)
    floor (0.912708282470703 × 131072)
    floor (119630.5)     		tx = 119630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903438568115234 × 217)
    floor (0.903438568115234 × 131072)
    floor (118415.5)     		ty = 118415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119630 / 118415 ti = "17/119630/118415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119630/118415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119630 ÷ 217
    119630 ÷ 131072     		x = 0.912704467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118415 ÷ 217
    118415 ÷ 131072     		y = 0.903434753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912704467773438 × 2 - 1) × π
    0.825408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59309865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903434753417969 × 2 - 1) × π
    -0.806869506835938 × 3.1415926535     		Φ = -2.53485531500895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59309865} λ = 2.59309865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53485531500895))-π/2
    2×atan(0.0792731880755364)-π/2
    2×0.0791077542016961-π/2
    0.158215508403392-1.57079632675     		φ = -1.41258082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59309865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41258082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.934919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119630 KachelY 118415 2.59309865 -1.41258082 148.573609 -80.934919
    Oben rechts KachelX + 1 119631 KachelY 118415 2.59314658 -1.41258082 148.576355 -80.934919
    Unten links KachelX 119630 KachelY + 1 118416 2.59309865 -1.41258837 148.573609 -80.935352
    Unten rechts KachelX + 1 119631 KachelY + 1 118416 2.59314658 -1.41258837 148.576355 -80.935352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41258082--1.41258837) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dl = 48.1010499990844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41258082--1.41258837) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dr = 48.1010499990844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59309865-2.59314658) × cos(-1.41258082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157556253502511 × 6371000     		do = 48.1116974087509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59309865-2.59314658) × cos(-1.41258837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157548797797418 × 6371000     		du = 48.1094207195086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41258082)-sin(-1.41258837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157556253502511-0.157548797797418)×R²
    abs(2.59314658-2.59309865)×7.45570509308457e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.45570509308457e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.45570509308457e-06×40589641000000     		ar = 2314.16840691879m²