Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11963 / 13700
↖ ↑ ↗
← N 28.265682°
W 48.570556°		 ← 1 075.92 m → N 28.265682°
W 48.559571°		 →
↑
1 076 m
↓
↑
1 076 m
↓
N 28.256006°
W 48.570556°		 ← 1 076.01 m →
1 157 737 m²		 N 28.256006°
W 48.559571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365097045898438 y=0.418106079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365097045898438 × 215)
    floor (0.365097045898438 × 32768)
    floor (11963.5)     		tx = 11963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418106079101562 × 215)
    floor (0.418106079101562 × 32768)
    floor (13700.5)     		ty = 13700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11963 / 13700 ti = "15/11963/13700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11963/13700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11963 ÷ 215
    11963 ÷ 32768     		x = 0.365081787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13700 ÷ 215
    13700 ÷ 32768     		y = 0.4180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365081787109375 × 2 - 1) × π
    -0.26983642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84771613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    0.163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.514650554320923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84771613} λ = -0.84771613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514650554320923))-π/2
    2×atan(1.67305375822875)-π/2
    2×1.03206277490649-π/2
    2.06412554981298-1.57079632675     		φ = 0.49332922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84771613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.570556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49332922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.265682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11963 KachelY 13700 -0.84771613 0.49332922 -48.570556 28.265682
    Oben rechts KachelX + 1 11964 KachelY 13700 -0.84752439 0.49332922 -48.559571 28.265682
    Unten links KachelX 11963 KachelY + 1 13701 -0.84771613 0.49316033 -48.570556 28.256006
    Unten rechts KachelX + 1 11964 KachelY + 1 13701 -0.84752439 0.49316033 -48.559571 28.256006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49332922-0.49316033) × R
    0.000168890000000033 × 6371000     		dl = 1075.99819000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49332922-0.49316033) × R
    0.000168890000000033 × 6371000     		dr = 1075.99819000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84771613--0.84752439) × cos(0.49332922) × R
    0.000191739999999996 × 0.880761154630661 × 6371000     		do = 1075.91628307895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84771613--0.84752439) × cos(0.49316033) × R
    0.000191739999999996 × 0.880841121744818 × 6371000     		du = 1076.01396894961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49332922)-sin(0.49316033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880761154630661-0.880841121744818)×R²
    abs(-0.84752439--0.84771613)×7.99671141575864e-05×R²
    0.000191739999999996×7.99671141575864e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.99671141575864e-05×40589641000000     		ar = 1157736.53084642m²