Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119629 / 119707
↖ ↑ ↗
← S 81.477258°
E148.570862°		 ← 45.26 m → S 81.477258°
E148.573609°		 →
↑
45.30 m
↓
↑
45.30 m
↓
S 81.477666°
E148.570862°		 ← 45.26 m →
2 050 m²		 S 81.477666°
E148.573609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912700653076172 y=0.913295745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912700653076172 × 217)
    floor (0.912700653076172 × 131072)
    floor (119629.5)     		tx = 119629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913295745849609 × 217)
    floor (0.913295745849609 × 131072)
    floor (119707.5)     		ty = 119707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119629 / 119707 ti = "17/119629/119707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119629/119707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119629 ÷ 217
    119629 ÷ 131072     		x = 0.912696838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119707 ÷ 217
    119707 ÷ 131072     		y = 0.913291931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912696838378906 × 2 - 1) × π
    0.825393676757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.59305071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913291931152344 × 2 - 1) × π
    -0.826583862304688 × 3.1415926535     		Φ = -2.59678978931806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59305071} λ = 2.59305071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59678978931806))-π/2
    2×atan(0.074512395169781)-π/2
    2×0.0743749527202995-π/2
    0.148749905440599-1.57079632675     		φ = -1.42204642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59305071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.570862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42204642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.477258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119629 KachelY 119707 2.59305071 -1.42204642 148.570862 -81.477258
    Oben rechts KachelX + 1 119630 KachelY 119707 2.59309865 -1.42204642 148.573609 -81.477258
    Unten links KachelX 119629 KachelY + 1 119708 2.59305071 -1.42205353 148.570862 -81.477666
    Unten rechts KachelX + 1 119630 KachelY + 1 119708 2.59309865 -1.42205353 148.573609 -81.477666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42204642--1.42205353) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dl = 45.2978099991452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42204642--1.42205353) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dr = 45.2978099991452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59305071-2.59309865) × cos(-1.42204642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148201960023669 × 6371000     		do = 45.2646933096499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59305071-2.59309865) × cos(-1.42205353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148194928534822 × 6371000     		du = 45.2625457119656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42204642)-sin(-1.42205353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148201960023669-0.148194928534822)×R²
    abs(2.59309865-2.59305071)×7.03148884684257e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.03148884684257e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.03148884684257e-06×40589641000000     		ar = 2050.34283653105m²