Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119628 / 117816
↖ ↑ ↗
← S 80.671998°
E148.568115°		 ← 49.51 m → S 80.671998°
E148.570862°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
S 80.672443°
E148.568115°		 ← 49.50 m →
2 451 m²		 S 80.672443°
E148.570862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912693023681641 y=0.898868560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912693023681641 × 217)
    floor (0.912693023681641 × 131072)
    floor (119628.5)     		tx = 119628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898868560791016 × 217)
    floor (0.898868560791016 × 131072)
    floor (117816.5)     		ty = 117816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119628 / 117816 ti = "17/119628/117816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119628/117816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119628 ÷ 217
    119628 ÷ 131072     		x = 0.912689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117816 ÷ 217
    117816 ÷ 131072     		y = 0.89886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912689208984375 × 2 - 1) × π
    0.82537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59300277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89886474609375 × 2 - 1) × π
    -0.7977294921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50614111213654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59300277} λ = 2.59300277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50614111213654))-π/2
    2×atan(0.081582450125358)-π/2
    2×0.0814021734992375-π/2
    0.162804346998475-1.57079632675     		φ = -1.40799198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59300277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40799198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.671998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119628 KachelY 117816 2.59300277 -1.40799198 148.568115 -80.671998
    Oben rechts KachelX + 1 119629 KachelY 117816 2.59305071 -1.40799198 148.570862 -80.671998
    Unten links KachelX 119628 KachelY + 1 117817 2.59300277 -1.40799975 148.568115 -80.672443
    Unten rechts KachelX + 1 119629 KachelY + 1 117817 2.59305071 -1.40799975 148.570862 -80.672443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40799198--1.40799975) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40799198--1.40799975) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59300277-2.59305071) × cos(-1.40799198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162086104185902 × 6371000     		do = 49.5052683146639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59300277-2.59305071) × cos(-1.40799975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162078436926684 × 6371000     		du = 49.5029265363433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40799198)-sin(-1.40799975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162086104185902-0.162078436926684)×R²
    abs(2.59305071-2.59300277)×7.66725921858002e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.66725921858002e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.66725921858002e-06×40589641000000     		ar = 2450.58499850647m²