Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119627 / 117815
↖ ↑ ↗
← S 80.671553°
E148.565369°		 ← 49.50 m → S 80.671553°
E148.568115°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
S 80.671998°
E148.565369°		 ← 49.49 m →
2 450 m²		 S 80.671998°
E148.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912685394287109 y=0.898860931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912685394287109 × 217)
    floor (0.912685394287109 × 131072)
    floor (119627.5)     		tx = 119627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898860931396484 × 217)
    floor (0.898860931396484 × 131072)
    floor (117815.5)     		ty = 117815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119627 / 117815 ti = "17/119627/117815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119627/117815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119627 ÷ 217
    119627 ÷ 131072     		x = 0.912681579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117815 ÷ 217
    117815 ÷ 131072     		y = 0.898857116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912681579589844 × 2 - 1) × π
    0.825363159179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.59295484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898857116699219 × 2 - 1) × π
    -0.797714233398438 × 3.1415926535     		Φ = -2.50609317523692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59295484} λ = 2.59295484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50609317523692))-π/2
    2×atan(0.0815863610288179)-π/2
    2×0.0814060585437818-π/2
    0.162812117087564-1.57079632675     		φ = -1.40798421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59295484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.565369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40798421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.671553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119627 KachelY 117815 2.59295484 -1.40798421 148.565369 -80.671553
    Oben rechts KachelX + 1 119628 KachelY 117815 2.59300277 -1.40798421 148.568115 -80.671553
    Unten links KachelX 119627 KachelY + 1 117816 2.59295484 -1.40799198 148.565369 -80.671998
    Unten rechts KachelX + 1 119628 KachelY + 1 117816 2.59300277 -1.40799198 148.568115 -80.671998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40798421--1.40799198) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40798421--1.40799198) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59295484-2.59300277) × cos(-1.40798421) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162093771435335 × 6371000     		do = 49.4972830958803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59295484-2.59300277) × cos(-1.40799198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162086104185902 × 6371000     		du = 49.4949418090289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40798421)-sin(-1.40799198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162093771435335-0.162086104185902)×R²
    abs(2.59300277-2.59295484)×7.66724943299102e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.66724943299102e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.66724943299102e-06×40589641000000     		ar = 2450.18972123937m²