Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119626 / 118506
↖ ↑ ↗
← S 80.974214°
E148.562622°		 ← 47.91 m → S 80.974214°
E148.565369°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.974645°
E148.562622°		 ← 47.91 m →
2 296 m²		 S 80.974645°
E148.565369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912677764892578 y=0.904132843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912677764892578 × 217)
    floor (0.912677764892578 × 131072)
    floor (119626.5)     		tx = 119626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904132843017578 × 217)
    floor (0.904132843017578 × 131072)
    floor (118506.5)     		ty = 118506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119626 / 118506 ti = "17/119626/118506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119626/118506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119626 ÷ 217
    119626 ÷ 131072     		x = 0.912673950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118506 ÷ 217
    118506 ÷ 131072     		y = 0.904129028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912673950195312 × 2 - 1) × π
    0.825347900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59290690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904129028320312 × 2 - 1) × π
    -0.808258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53921757287437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59290690} λ = 2.59290690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53921757287437))-π/2
    2×atan(0.0789281311481666)-π/2
    2×0.0787648428446352-π/2
    0.15752968568927-1.57079632675     		φ = -1.41326664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59290690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.562622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41326664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.974214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119626 KachelY 118506 2.59290690 -1.41326664 148.562622 -80.974214
    Oben rechts KachelX + 1 119627 KachelY 118506 2.59295484 -1.41326664 148.565369 -80.974214
    Unten links KachelX 119626 KachelY + 1 118507 2.59290690 -1.41327416 148.562622 -80.974645
    Unten rechts KachelX + 1 119627 KachelY + 1 118507 2.59295484 -1.41327416 148.565369 -80.974645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41326664--1.41327416) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41326664--1.41327416) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59290690-2.59295484) × cos(-1.41326664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15687896238485 × 6371000     		do = 47.9148731767936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59290690-2.59295484) × cos(-1.41327416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156871535494283 × 6371000     		du = 47.9126048132463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41326664)-sin(-1.41327416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15687896238485-0.156871535494283)×R²
    abs(2.59295484-2.59290690)×7.42689056693058e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42689056693058e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42689056693058e-06×40589641000000     		ar = 2295.54340203887m²