Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119625 / 117817
↖ ↑ ↗
← S 80.672443°
E148.559875°		 ← 49.50 m → S 80.672443°
E148.562622°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
S 80.672888°
E148.559875°		 ← 49.50 m →
2 450 m²		 S 80.672888°
E148.562622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912670135498047 y=0.898876190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912670135498047 × 217)
    floor (0.912670135498047 × 131072)
    floor (119625.5)     		tx = 119625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898876190185547 × 217)
    floor (0.898876190185547 × 131072)
    floor (117817.5)     		ty = 117817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119625 / 117817 ti = "17/119625/117817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119625/117817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119625 ÷ 217
    119625 ÷ 131072     		x = 0.912666320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117817 ÷ 217
    117817 ÷ 131072     		y = 0.898872375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912666320800781 × 2 - 1) × π
    0.825332641601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59285896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898872375488281 × 2 - 1) × π
    -0.797744750976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.50618904903616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59285896} λ = 2.59285896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50618904903616))-π/2
    2×atan(0.0815785394093701)-π/2
    2×0.0813982886384632-π/2
    0.162796577276926-1.57079632675     		φ = -1.40799975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59285896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.559875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40799975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.672443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119625 KachelY 117817 2.59285896 -1.40799975 148.559875 -80.672443
    Oben rechts KachelX + 1 119626 KachelY 117817 2.59290690 -1.40799975 148.562622 -80.672443
    Unten links KachelX 119625 KachelY + 1 117818 2.59285896 -1.40800752 148.559875 -80.672888
    Unten rechts KachelX + 1 119626 KachelY + 1 117818 2.59290690 -1.40800752 148.562622 -80.672888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40799975--1.40800752) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dl = 49.5026699990539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40799975--1.40800752) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dr = 49.5026699990539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59285896-2.59290690) × cos(-1.40799975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162078436926684 × 6371000     		do = 49.5029265363433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59285896-2.59290690) × cos(-1.40800752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16207076965768 × 6371000     		du = 49.5005847550341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40799975)-sin(-1.40800752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162078436926684-0.16207076965768)×R²
    abs(2.59290690-2.59285896)×7.66726900353065e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.66726900353065e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.66726900353065e-06×40589641000000     		ar = 2450.46907408229m²