Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119623 / 118487
↖ ↑ ↗
← S 80.966023°
E148.554382°		 ← 47.96 m → S 80.966023°
E148.557129°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.966455°
E148.554382°		 ← 47.96 m →
2 301 m²		 S 80.966455°
E148.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912654876708984 y=0.903987884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912654876708984 × 217)
    floor (0.912654876708984 × 131072)
    floor (119623.5)     		tx = 119623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903987884521484 × 217)
    floor (0.903987884521484 × 131072)
    floor (118487.5)     		ty = 118487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119623 / 118487 ti = "17/119623/118487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119623/118487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119623 ÷ 217
    119623 ÷ 131072     		x = 0.912651062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118487 ÷ 217
    118487 ÷ 131072     		y = 0.903984069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912651062011719 × 2 - 1) × π
    0.825302124023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59276309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903984069824219 × 2 - 1) × π
    -0.807968139648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.53830677178159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59276309} λ = 2.59276309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53830677178159))-π/2
    2×atan(0.0790000517239652)-π/2
    2×0.078836317750938-π/2
    0.157672635501876-1.57079632675     		φ = -1.41312369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59276309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.554382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41312369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.966023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119623 KachelY 118487 2.59276309 -1.41312369 148.554382 -80.966023
    Oben rechts KachelX + 1 119624 KachelY 118487 2.59281103 -1.41312369 148.557129 -80.966023
    Unten links KachelX 119623 KachelY + 1 118488 2.59276309 -1.41313122 148.554382 -80.966455
    Unten rechts KachelX + 1 119624 KachelY + 1 118488 2.59281103 -1.41313122 148.557129 -80.966455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41312369--1.41313122) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41312369--1.41313122) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59276309-2.59281103) × cos(-1.41312369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157020140751223 × 6371000     		do = 47.9579926838151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59276309-2.59281103) × cos(-1.41313122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157012704153405 × 6371000     		du = 47.9557213554233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41312369)-sin(-1.41313122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157020140751223-0.157012704153405)×R²
    abs(2.59281103-2.59276309)×7.4365978184332e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.4365978184332e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.4365978184332e-06×40589641000000     		ar = 2300.66451444752m²