Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11962 / 13698
↖ ↑ ↗
← N 28.285033°
W 48.581543°		 ← 1 075.78 m → N 28.285033°
W 48.570556°		 →
↑
1 075.81 m
↓
↑
1 075.81 m
↓
N 28.275358°
W 48.581543°		 ← 1 075.87 m →
1 157 381 m²		 N 28.275358°
W 48.570556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365066528320312 y=0.418045043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365066528320312 × 215)
    floor (0.365066528320312 × 32768)
    floor (11962.5)     		tx = 11962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418045043945312 × 215)
    floor (0.418045043945312 × 32768)
    floor (13698.5)     		ty = 13698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11962 / 13698 ti = "15/11962/13698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11962/13698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11962 ÷ 215
    11962 ÷ 32768     		x = 0.36505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13698 ÷ 215
    13698 ÷ 32768     		y = 0.41802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.2698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84790788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41802978515625 × 2 - 1) × π
    0.1639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.515034049517883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84790788} λ = -0.84790788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515034049517883))-π/2
    2×atan(1.67369548935182)-π/2
    2×1.03223164340482-π/2
    2.06446328680963-1.57079632675     		φ = 0.49366696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84790788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49366696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.285033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11962 KachelY 13698 -0.84790788 0.49366696 -48.581543 28.285033
    Oben rechts KachelX + 1 11963 KachelY 13698 -0.84771613 0.49366696 -48.570556 28.285033
    Unten links KachelX 11962 KachelY + 1 13699 -0.84790788 0.49349810 -48.581543 28.275358
    Unten rechts KachelX + 1 11963 KachelY + 1 13699 -0.84771613 0.49349810 -48.570556 28.275358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49366696-0.49349810) × R
    0.000168859999999993 × 6371000     		dl = 1075.80705999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49366696-0.49349810) × R
    0.000168859999999993 × 6371000     		dr = 1075.80705999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84790788--0.84771613) × cos(0.49366696) × R
    0.000191749999999935 × 0.880601163990906 × 6371000     		do = 1075.77694552661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84790788--0.84771613) × cos(0.49349810) × R
    0.000191749999999935 × 0.880681167130915 × 6371000     		du = 1075.87468050257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49366696)-sin(0.49349810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880601163990906-0.880681167130915)×R²
    abs(-0.84771613--0.84790788)×8.00031400087775e-05×R²
    0.000191749999999935×8.00031400087775e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.00031400087775e-05×40589641000000     		ar = 1157381.00772114m²