Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11962 / 13689
↖ ↑ ↗
← N 28.372069°
W 48.581543°		 ← 1 074.90 m → N 28.372069°
W 48.570556°		 →
↑
1 074.98 m
↓
↑
1 074.98 m
↓
N 28.362402°
W 48.581543°		 ← 1 074.99 m →
1 155 543 m²		 N 28.362402°
W 48.570556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365066528320312 y=0.417770385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365066528320312 × 215)
    floor (0.365066528320312 × 32768)
    floor (11962.5)     		tx = 11962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417770385742188 × 215)
    floor (0.417770385742188 × 32768)
    floor (13689.5)     		ty = 13689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11962 / 13689 ti = "15/11962/13689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11962/13689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11962 ÷ 215
    11962 ÷ 32768     		x = 0.36505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13689 ÷ 215
    13689 ÷ 32768     		y = 0.417755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.2698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84790788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417755126953125 × 2 - 1) × π
    0.16448974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.516759777904205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84790788} λ = -0.84790788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516759777904205))-π/2
    2×atan(1.67658632685058)-π/2
    2×1.03299117173071-π/2
    2.06598234346143-1.57079632675     		φ = 0.49518602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84790788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49518602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.372069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11962 KachelY 13689 -0.84790788 0.49518602 -48.581543 28.372069
    Oben rechts KachelX + 1 11963 KachelY 13689 -0.84771613 0.49518602 -48.570556 28.372069
    Unten links KachelX 11962 KachelY + 1 13690 -0.84790788 0.49501729 -48.581543 28.362402
    Unten rechts KachelX + 1 11963 KachelY + 1 13690 -0.84771613 0.49501729 -48.570556 28.362402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49518602-0.49501729) × R
    0.000168730000000006 × 6371000     		dl = 1074.97883000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49518602-0.49501729) × R
    0.000168730000000006 × 6371000     		dr = 1074.97883000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84790788--0.84771613) × cos(0.49518602) × R
    0.000191749999999935 × 0.879880329223972 × 6371000     		do = 1074.89634548256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84790788--0.84771613) × cos(0.49501729) × R
    0.000191749999999935 × 0.879960496407423 × 6371000     		du = 1074.99428086043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49518602)-sin(0.49501729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879880329223972-0.879960496407423)×R²
    abs(-0.84771613--0.84790788)×8.01671834513851e-05×R²
    0.000191749999999935×8.01671834513851e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.01671834513851e-05×40589641000000     		ar = 1155543.45780865m²