Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119612 / 118452
↖ ↑ ↗
← S 80.950917°
E148.524170°		 ← 48.04 m → S 80.950917°
E148.526916°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
S 80.951349°
E148.524170°		 ← 48.04 m →
2 308 m²		 S 80.951349°
E148.526916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912570953369141 y=0.903720855712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912570953369141 × 217)
    floor (0.912570953369141 × 131072)
    floor (119612.5)     		tx = 119612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903720855712891 × 217)
    floor (0.903720855712891 × 131072)
    floor (118452.5)     		ty = 118452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119612 / 118452 ti = "17/119612/118452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119612/118452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119612 ÷ 217
    119612 ÷ 131072     		x = 0.912567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118452 ÷ 217
    118452 ÷ 131072     		y = 0.903717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912567138671875 × 2 - 1) × π
    0.82513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59223578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.80743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53662898029489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59223578} λ = 2.59223578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53662898029489))-π/2
    2×atan(0.07913270859236)-π/2
    2×0.0789681504679066-π/2
    0.157936300935813-1.57079632675     		φ = -1.41286003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59223578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.524170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41286003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.950917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119612 KachelY 118452 2.59223578 -1.41286003 148.524170 -80.950917
    Oben rechts KachelX + 1 119613 KachelY 118452 2.59228372 -1.41286003 148.526916 -80.950917
    Unten links KachelX 119612 KachelY + 1 118453 2.59223578 -1.41286757 148.524170 -80.951349
    Unten rechts KachelX + 1 119613 KachelY + 1 118453 2.59228372 -1.41286757 148.526916 -80.951349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41286003--1.41286757) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dl = 48.0373399994716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41286003--1.41286757) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dr = 48.0373399994716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59223578-2.59228372) × cos(-1.41286003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157280524693791 × 6371000     		do = 48.0375206421578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59223578-2.59228372) × cos(-1.41286757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157273078532413 × 6371000     		du = 48.035246392809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41286003)-sin(-1.41286757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157280524693791-0.157273078532413)×R²
    abs(2.59228372-2.59223578)×7.44616137732246e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.44616137732246e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.44616137732246e-06×40589641000000     		ar = 2307.54008746608m²