Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119610 / 118422
↖ ↑ ↗
← S 80.937948°
E148.518677°		 ← 48.11 m → S 80.937948°
E148.521424°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.938380°
E148.518677°		 ← 48.10 m →
2 314 m²		 S 80.938380°
E148.521424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912555694580078 y=0.903491973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912555694580078 × 217)
    floor (0.912555694580078 × 131072)
    floor (119610.5)     		tx = 119610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903491973876953 × 217)
    floor (0.903491973876953 × 131072)
    floor (118422.5)     		ty = 118422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119610 / 118422 ti = "17/119610/118422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119610/118422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119610 ÷ 217
    119610 ÷ 131072     		x = 0.912551879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118422 ÷ 217
    118422 ÷ 131072     		y = 0.903488159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912551879882812 × 2 - 1) × π
    0.825103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59213991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903488159179688 × 2 - 1) × π
    -0.806976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53519087330629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59213991} λ = 2.59213991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53519087330629))-π/2
    2×atan(0.0792465917620775)-π/2
    2×0.0790813239266663-π/2
    0.158162647853333-1.57079632675     		φ = -1.41263368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59213991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.518677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41263368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.937948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119610 KachelY 118422 2.59213991 -1.41263368 148.518677 -80.937948
    Oben rechts KachelX + 1 119611 KachelY 118422 2.59218785 -1.41263368 148.521424 -80.937948
    Unten links KachelX 119610 KachelY + 1 118423 2.59213991 -1.41264123 148.518677 -80.938380
    Unten rechts KachelX + 1 119611 KachelY + 1 118423 2.59218785 -1.41264123 148.521424 -80.938380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41263368--1.41264123) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41263368--1.41264123) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59213991-2.59218785) × cos(-1.41263368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157504053503096 × 6371000     		do = 48.1057920941512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59213991-2.59218785) × cos(-1.41264123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157496597735135 × 6371000     		du = 48.1035149107044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41263368)-sin(-1.41264123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157504053503096-0.157496597735135)×R²
    abs(2.59218785-2.59213991)×7.45576796101766e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45576796101766e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45576796101766e-06×40589641000000     		ar = 2313.88434328564m²