Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119608 / 118104
↖ ↑ ↗
← S 80.799341°
E148.513184°		 ← 48.83 m → S 80.799341°
E148.515930°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
S 80.799780°
E148.513184°		 ← 48.82 m →
2 383 m²		 S 80.799780°
E148.515930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912540435791016 y=0.901065826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912540435791016 × 217)
    floor (0.912540435791016 × 131072)
    floor (119608.5)     		tx = 119608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901065826416016 × 217)
    floor (0.901065826416016 × 131072)
    floor (118104.5)     		ty = 118104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119608 / 118104 ti = "17/119608/118104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119608/118104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119608 ÷ 217
    119608 ÷ 131072     		x = 0.91253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118104 ÷ 217
    118104 ÷ 131072     		y = 0.90106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91253662109375 × 2 - 1) × π
    0.8250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59204404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.8021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51994693922711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59204404} λ = 2.59204404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51994693922711))-π/2
    2×atan(0.0804638761117197)-π/2
    2×0.0802908948681313-π/2
    0.160581789736263-1.57079632675     		φ = -1.41021454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59204404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41021454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.799341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119608 KachelY 118104 2.59204404 -1.41021454 148.513184 -80.799341
    Oben rechts KachelX + 1 119609 KachelY 118104 2.59209197 -1.41021454 148.515930 -80.799341
    Unten links KachelX 119608 KachelY + 1 118105 2.59204404 -1.41022220 148.513184 -80.799780
    Unten rechts KachelX + 1 119609 KachelY + 1 118105 2.59209197 -1.41022220 148.515930 -80.799780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41021454--1.41022220) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41021454--1.41022220) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59204404-2.59209197) × cos(-1.41021454) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.159892535416191 × 6371000     		do = 48.8251091961124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59204404-2.59209197) × cos(-1.41022220) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.159884973961789 × 6371000     		du = 48.8228002150464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41021454)-sin(-1.41022220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159892535416191-0.159884973961789)×R²
    abs(2.59209197-2.59204404)×7.56145440228284e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.56145440228284e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.56145440228284e-06×40589641000000     		ar = 2382.69980216574m²